長らく補題 3 の証明を放ってしまっていたので、ぼちぼちやります。 補題 3 の証明(前半) とおき、 は となるものを一つ固定しておく。そして として、 は となるものを一つ取る。 このような操作を続けて として、 を となるように(可能であれば)取る。 こ…

2,3 の事実の証明を省いたものの、証明は徐々に完成に近づいてきました。残るは補題 2 です。しかし、補題 2 の証明のためには以下の補題が必要です。 補題 3 を任意の(可測でなくても良い)集合とする。今、 を覆う球の族 を考え、これに属する球の直径は有…

前回の続きですが、また補題を用意します。 補題(証明略) において が を満たしているならば、任意の に対して *1 さらに、 が有界可測で、開集合 で連続ならば、 に含まれる任意のコンパクト集合上で は に一様収束する。 (実際には関数列 でなく、あるパラ…

前回の続きです。 とおきます。このとき で が成り立ちます。ところで に対して 補題 2 ある定数 が存在して、任意の に対して *1 (実際は で良い) が成り立つので、任意の に対して … (*) が成り立ちます。そこで、関数解析学でよく知られるように、任意の …

前回の補題 1 を見て、何か気づかなかったでしょうか。 もし が連続関数なら、これは微積分学の基本定理そのものです。つまり、補題 1 は、ある意味これも微積分学の基本定理と呼ぶに相応しいものなのです。 しかし、 に関する条件がゆるくなっているので、…

まず、次の補題を認めることにします。 補題 1 を 上の局所可積分関数とし とおけば、 はほとんどいたるところ微分可能で (a.e.) が成り立つ。 これを認めたうえで、前回の定理を証明しましょう。 を絶対連続関数とすると、 によって定義される Lebesgue - S…

まず、これまでに確認したことをおさらいします。 測度 に関して絶対連続な実測度(または 有限な正測度)は、ある可測関数の積分の形に書ける 区間 上の絶対連続関数は有界変動関数であり、その Lebesgue - Stieltjes 測度は Lebesgue 測度に関して絶対連続で…

さて、昨日の問題の種明かし。 とおきます()。このとき に気づくと簡単。 のとき、右辺は 1 に収束するので が成り立ちます。したがって というわけです。皆さんは出来ましたか ? (^_^)

本格的な更新が出来るようになるまでしばらく時間が掛かりそうなので、場つなぎ的な更新で済ませます。 のとき が成り立つことを示せ. 気づくと簡単ですよ。種明かしは明日以降に。

絶対連続関数は有界変動関数である を区間 上の絶対連続関数(絶対連続関数の定義は既に与えました)とし、 を一つ固定して … (1) ならば … (2) を満たす を固定します。 として、 の細分 を考えるとき、細分をより細かく取った方が の値は大きくなりますので …

定理 が区間 上の有界変動関数ならば 、 は単調増加 と表せる。 (証明) とおくと、次のことが容易に分かる。 そこで とおけば、次のことも比較的容易に確かめられる。 そこで、 を一つ固定して とおけば、 は単調増加関数で が成り立つ。 有界変動関数に対す…

有界変動関数 区間 上の関数を とし、 に対して区間 の細分 を考え、和 を考えます。そして、 のあらゆる細分 に関する の上限を で表し、 の区間 における全変動と言います。 定義 区間 上の関数 に対して、任意の に対して が成り立つとき、 を有界変動関…

本題に進む前に、もう少しだけ寄り道していきます。 を任意の測度空間として、 を 上非負の可積分関数とします。このとき とおいて、これを の分布関数と言います。分布関数は単調増加*1になるので、その Lebesgue - Stieltjes 測度が定義できますが、このと…

特異な連続単調増加関数の例 とし、自然数 に対して と定義します。このとき、各 において と定義します。これはカントール関数(Cantor function)と呼ばれ、カントール集合の上でしか値の増加が起こらない単調増加関数です。しかも、この関数は連続になりま…

単調増加関数の分解 区間 上の単調増加関数 を与えると、これは と分解することができます。ここで は絶対連続な単調増加関数 は特異な連続単調増加関数*1 は離散的単調増加関数 であり、この分解は定数の和を無視して一意です。以下、その証明をしていきま…

久々に本筋に戻ります。 区間 上の二つの連続な単調増加関数 が与えられたとき、その Lebesgue - Stieltjes 測度が一致する、すなわち となるのはどんなときでしょう。もし ならば、任意の に対して が成り立ちます。これを整理すると となるので、 は定数、…

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測度の絶対連続と絶対連続関数の関係 定理 区間 上の単調増加関数 から定義される Lebesgue - Stieltjes 測度 が、Lebesgue 測度 に関して絶対連続、すなわち となる Borel 可測関数 が存在するための必要十分条件は、 が絶対連続関数となることである。 (証…

絶対連続関数 区間 で定義されている関数 が以下の条件を満たすとき、 は絶対連続であると言います。 任意の と任意の に対して適当な が存在し であるような で を満たすものに対して、常に が成り立つ。 この条件で としたものは、ちょうど一様連続性の条…

さて、単調増加関数 から作られる Lebesgue - Stieltjes 測度 が Lebesgue 測度 に関して絶対連続であるとします。このとき が成り立つので は 上連続となる*1ことに注意します。 一方、Radon - Nikodym の定理により となる Borel 可測関数 が存在します。…

これまでの議論によって、 が正則測度であることが示されました。このことによって、測度空間 は、 の完備化になっていることがわかります。従って、今後の議論は 可測集合とするところを Borel 可測集合に置き換えても、積分を論じる上では問題が無いことに…

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質(続き) 次に、任意の 可測集合 に対して *1 となるものが存在することを示します。 に対して となる開集合 が存在します。このとき は閉集合で となります。 故 となるので となります。特に、 の場合 、各 は有界閉区間で …

どうも手順前後している感が否めませんが、とりあえず続けます。 Lebesgue - Stieltjes 測度の性質(続き) は 有限測度になります。実際、基礎となる区間 が有界閉区間であれば は有限測度だから明らかです。そうでないときは、 を内側から近似する有界閉区間…

正則測度 測度空間 において、 が局所 compact Hausdorff 空間の場合を考えます。このとき が 1. は完備 2. 3. が compact なら 4. なる任意の に対して、任意に を取ると、開集合 と compact 集合 で を満たすものが存在する を満たすとき、 は正則測度であ…

以下、 は区間 上の単調増加関数とします。 Lebesgue - Stieltjes 測度の性質 一点からなる集合 は 可測です。それを知るには、 なる集合に対して を示せばよいことになります。このことは、直ちに明らかとは言えませんが、示すことはさほど難しくないと思い…

第一種不連続点と単調増加関数 一変数関数 において がともに存在し、かつ両者の値が等しくないとき、 を の第一種不連続点と言います。 定理 を区間とする。 上の単調増加関数 の第一種不連続点は高々可算個である。 (証明) 任意の区間は高々可算個の閉区間…

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質をいろいろと論ずる前に、少し測度論の復習(?)をします。 Carathéodory の外測度と完備測度 基礎となる集合 に対し、 (つまり を値に取ることも許す)が を満たすとき、これを 上の Carathéodory の外測度あるいは単に外測度…

参考書 順番が前後しましたが、測度論に関する参考書を 3 冊ほど挙げておきます。 ルベーグ積分 (現代数学レクチャーズ B- 7)作者: 竹之内脩出版社/メーカー: 培風館発売日: 1980/09メディア: 単行本 クリック: 1回この商品を含むブログ (1件) を見るルベー…

単調増加関数に関する Lebesgue - Stieltjes 測度 を区間とし、 上で単調増加する関数 を与えます。このとき、 に対して、開区間 の測度を と定めます。そして に対して、 を に含まれる高々加算個の開区間で覆います。 このとき として、可能な被覆 に関す…