Lebesgue - Stieltjes 積分(その 1) - Red cat の数学よもやま話

単調増加関数に関する Lebesgue - Stieltjes 測度

$I\subset\mathbb{R}$ を区間とし、 $I$ 上で単調増加する関数 $g(x)$ を与えます。このとき、 $\alpha,\beta\in I,\alpha<\beta$ に対して、開区間 $J=(\alpha,\beta)$ の測度を
$|J|=g(\beta-0)-g(\alpha+0)$
と定めます。そして $A\subset I$ に対して、 $A$ を $I$ に含まれる高々加算個の開区間で覆います。
$\Theta:A\subset\bigcup_{n=1}^\infty J_n$
このとき
$h(\Theta)=\sum_{n=1}^\infty|J_n|$
として、可能な被覆 $\Theta$ に関する $h(\Theta)$ の下限を ${m_g}^*(A)$ と定めます。この ${m_g}^*$ は、 $I$ の部分集合に対して Carathéodory の外測度となります。そこで、 ${m_g}^*$ 可測な集合、すなわち、任意の $A\subset I$ に対して
${m_g}^*(A)={m_g}^*(A\cap M)+{m_g}^*(A\cap M^c)$
を満たす $M$ のことを、 $g$ 可測であると言います。
$g$ 可測な集合の全体 $\mathcal{M}_g$ は $I$ 上の $\sigma$ 集合体となるので
$m_g(M)={m_g}^*(M)(M\in\mathcal{M}_g)$
は可測空間 $(I,\mathcal{M}_g)$ 上の測度となります。このようにしてできた $(I,\mathcal{M}_g)$ 上の測度を Lebesgue - Stieltjes 測度と言います。

Lebesgue - Stieltjes 積分

測度空間 $(I,\mathcal{M}_g,m_g)$ 上の可測関数 $f(x)$ に対して、 $f$ の $m_g$ に関する Lebesgue 積分を $f(x)$ の $g(x)$ に関するLebesgue - Stieltjes 積分と言い
$\int f(x)dg(x)$
と表します。