自然数から整数へ、そして有理数へ(その 6)

半群の結合法則の一般化

$(A,\alpha)$ を半群とするとき、もちろんですが $(a\alpha b)\alpha c=a\alpha(b\alpha c)$ が成り立つわけですが、これを一般化します。

命題

$m,n\in\omega,m\lt n$ とし, $a_0,a_1,\dots,a_n$ を半群 $(A,\alpha)$ の台集合 $A$ の元とするとき
${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i=\left({\prod_{i=0}^m}^\alpha a_i\right)\alpha\left({\prod_{i=m+1}^n}^\alpha a_i\right)$

$m\lt n$ なので $n=m+k+1,k\in\omega$ が成り立ちます。したがって命題の結論の式は意味を持ちます。

(証明)
$n=0$ のとき $m\lt n$ なる自然数は存在しないので命題は成り立つ。 $n$ のとき成り立つと仮定すると定義によって
${\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_i=\left({\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i\right)\alpha a_{n+1}$
である。 $m\lt n+1$ に対して $m\lt n$ もしくは $m=n$ であるが、 $m=n$ ならば
$\left({\prod_{i=n+1}^{n+1}}^\alpha a_i\right)=a_{n+1}$ なので命題は成り立つ。 $m\lt n$ のときは仮定により
${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i=\left({\prod_{i=0}^m}^\alpha a_i\right)\alpha\left({\prod_{i=m+1}^n}^\alpha a_i\right)$
なので
$\begin{align}{\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_i&=\left(\left({\prod_{i=0}^m}^\alpha a_i\right)\alpha\left({\prod_{i=m+1}^n}^\alpha a_i\right)\right)\alpha a_{n+1}\\&=\left({\prod_{i=0}^m}^\alpha a_i\right)\alpha\left(\left({\prod_{i=m+1}^n}^\alpha a_i\right)\alpha a_{n+1}\right)\\&=\left({\prod_{i=0}^m}^\alpha a_i\right)\alpha\left({\prod_{i=m+1}^{n+1}}^\alpha a_i\right)\end{align}$
で成り立つ。□