公理的集合論における自然数の存在(その 10)

積に関する性質

今度は積に関する性質を見ていきましょう。
(1) $a\times 0=0\times a=0$
$a\times 0=\mu_a(0)=0$ は定義からわかりますので、 $0\times a=\mu_0(a)=0$ を数学的帰納法で示しましょう。
$\mu_0(0)=0$ は定義から直ちにわかります。
$\mu_0(n+1)=0+\mu_0(n)=\mu_0(n)$
なので $\mu_0(n)=0\to\mu_0(n+1)=0$ となりますから、数学的帰納法により $\mu_0(a)=0$ です。
(2) $a\times 1=1\times a=a$
$a\times 1=\mu_a(1)=a+\mu_a(0)=a+0=a$
は定義と和の性質から導かれます。 $1\times a=\mu_1(a)=a$ を数学的帰納法で示しましょう。
$\mu_1(0)=0$ は定義から直ちにわかります。
$\mu_1(n+1)=1+\mu_1(n)=\mu_1(n)+1$
なので $\mu_1(n)=n\to\mu_1(n+1)=n+1$ となりますから、数学的帰納法により $\mu_1(a)=a$ です。つまり $\mu_1:\omega\to\omega$ は恒等写像です。
(3) $a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc$ (分配法則)
$a(b+0)=ab=ab+0=ab+a\times 0$ です。さらに
$a+an=a+\mu_a(n)=\mu_a(n+1)=a(n+1)$
ですから、 $a(b+n)=ab+an$ ならば
[tex:\begin{align}a(b+(n+1))&=a*1\\&=a+a(b+n)\\&=a+(ab+an)\\&=(a+ab)+an\\&=(ab+a)+an\\&=ab+(a+an)\\&=ab+a(n+1)\end{align}]
となって $a(b+c)=ab+ac$ が示されます。 $(a+b)c=ac+bc$ の証明もほとんど同様です。
(4) $(ab)c=a(bc)$ (結合法則)
$\mu_a\circ\mu_b=\mu_{ab}$ を示しましょう。
$\mu_a\circ\mu_b(0)=\mu_a(0)=0=\mu_{ab}(0)$
が成り立ちます。また
$\begin{align}\mu_a\circ\mu_b(n+1)&=\mu_a(b+\mu_b(n))\\&=a(b+\mu_b(n))\\&=ab+a\mu_b(n)\\&=ab+\mu_a\circ\mu_b(n)\\&=ab+\mu_{ab}(n)\cdots\ast\\&=\mu_{ab}(n+1)\end{align}$
(* の部分に数学的帰納法の仮定を使っています)
となるので $\mu_a\circ\mu_b=\mu_{ab}$ です。従って
$\begin{align}(ab)c&=\mu_{ab}(c)\\&=\mu_a\circ\mu_b(c)\\&=\mu_a(bc)\\&=a(bc)\end{align}$
(5) $ab=ba$ (交換法則)
$a\times 0=0\times a(=0)$ は既に示しました。 $an=na$ が成り立つとすると
$a(n+1)=an+a=na+a=(n+1)a$
となるので、数学的帰納法により $ab=ba$ 。
以上により、 $(\bar{\mathbb{N}},\times)$ は 0 を零元、1 を単位元とする可換な単位半群となることがわかりました。積に関する性質はもう少しあるのですが、それは次回以降に。

*1:b+n)+1