半群の交換法則の一般化 を可換半群とするとき, 交換法則 を一般化します. 命題 とし, を可換半群 の台集合 の元とし, とするとき が成り立つ. (証明)これは自然数 に関する命題 である. のとき であるから であり, は成り立つ. が成り立つと仮定して が成り…

半群の結合法則の一般化 を半群とするとき、もちろんですが が成り立つわけですが、これを一般化します。 命題 とし, を半群 の台集合 の元とするとき なので が成り立ちます。したがって命題の結論の式は意味を持ちます。(証明) のとき なる自然数は存在し…

今回は後々使う事実からまず証明していきます。 定理 を の元とするとき (証明) 右から左に関しては から なので成り立つ. 左から右を示すため命題 として を用意し, まずこれを示す. は真である. が成り立つと仮定する. このとき であり, として をとればよ…

を集合、 を自然数とするとき、集合 を次のように定義します。 ちなみに の同一視は から への写像 について、 は によって決定されるため、この両者を同一視することによって決めます。こうすると、たとえば となります。 のとき、自然に とみなすことがで…

群 を単位半群(モノイド)とし、 を単位元とします。もし、次の法則が成り立つならば、 は群であると言います。 任意の に対し、 によって定まる の元 があって を満たす。 を の逆元と言います。 全変換半群と対称群 を集合とするとき、 から自身への写像の…

結合則と可換性、単位元 を代数系とし、 とします。また、 を と書きます。 が任意の について成り立つとき、この代数系は について結合的であると言います。特に が について結合的であるとき、 は について半群であると言います。 が任意の について成り立…

以前、集合論の公理系を用いて自然数の集合 を定義し、その上に加法と乗法という算法を定義しました(べき乗も定義しましたが、今回は特に使いません)。今回は、それを拡張して整数と有理数を構成してみます。 代数系 を集合とし、 を の部分集合とします(つ…

選択関数と選択公理 最後に、選択公理の別の形を紹介しておきます。 が集合 の選択関数であるとは のことを言います。空でない集合族から一つずつ要素を選んでいる関数です。ここで新たな命題を用意します。 (IX') 全ての集合は選択関数を持つ。 この命題に…

クラス関数について、割と頻繁に使われる定理を一つ証明しておきます。 定理 F がクラス関数で、u は に含まれる集合とする。このとき は集合である。したがって は関数。 は集合である。(証明) が集合であることが分かれば、 が集合となることは直ちにわか…

クラス関数の単射・全射・全単射 はクラスである. のとき、 です。ここに は F の逆関係です。このとき です。 は固有クラスになります。なぜなら、もし が集合ならば、これを u とおくと なので となって正則性公理に反するからです。 が固有クラスですから…

クラス関数 クラス F が関係であって を満たすならば、F はクラス関数であると言います。F が集合ならば単に関数と言います。関数の全体はクラスをなすので、これを Func で表します。また、F がクラス関数であることを で表します。ここで勘弁の為に記号 を…

クラスの直積と関係 クラス A , B が与えられたとき を A と B の直積と言います。特に集合 u と v の直積 は集合 の部分クラスなので集合になります。3 個以上のクラスの直積は で帰納的に定義します。 の部分クラスのことを、A , B 上の関係*1と言い、また…

クラスの相等 今、パラメータ付き論理式 によって与えられるクラス と、同じくパラメータ付き論理式 によって与えられるクラス があったとします。このとき … (*) と定義します。 を用いた簡便法で書けば と、集合における外延公理のようにも書けますが、こ…

以前、当ブログで Zermelo-Fraenkel 公理系を紹介しました。そのうちの一つ、置換公理図式から導かれた分出公理図式を再掲します。 (VII)' 分出公理図式 この公理によって定まる集合を と書くことができます。ところで、この公理で の条件を外した は公理と…

有限集合の要素の個数と自然数の演算 さて、 が有限集合で、 であるとき、実は以下のことが成り立つことが示されます。 、等号は のとき成り立つ。 証明は、いずれも後で紹介する参考書に略解が載っていますので、そちらを参考にしてください。かくして、自…

べき乗に関する性質 べき乗に関する性質として (1) (2) を挙げておきます。いずれも証明は数学的帰納法を用いますが、もう同じようなことを何度も繰り返すのも面倒なので、定義に基づいて各自で確かめてみてください。 全単射と集合の対等 単射・全射といっ…

1 から始まる数学的帰納法 これまで用いてきた数学的帰納法は 0 から始まるものでした。しかし、数学的帰納法は、必ず 0 から始まるとは限りません。むしろ、高校で習った(人もいる)ように、1 から始まる場合の方が多かったりします。そこで、そのような場合…

積に関する性質 今度は積に関する性質を見ていきましょう。 (1) は定義からわかりますので、 を数学的帰納法で示しましょう。 は定義から直ちにわかります。 なので となりますから、数学的帰納法により です。 (2) は定義と和の性質から導かれます。 を数学…

和に関する性質 前回定義した自然数の和に関する性質を見ていきます。 (1) なので、 となることを数学的帰納法で示します。まず です。次に とすると となって が成り立つので、数学的帰納法により となります。これは、 が恒等写像であることを意味していま…

和・積・べき乗の定義 さて、前回証明した帰納定理を使うと、 と で定まる写像 に対して を満たす写像 が一意的に定まります。この のことを と書き、 と の和と言います。 さらに、この に対して を満たす写像 が一意的に定まります。この のことを または …

いよいよ自然数の演算を再現します。なお、公理的集合論においては、通常は集合を現すのにアルファベットの小文字を使用するのが慣わしですが、煩雑さを避けるため、大文字等も使用することにします。 帰納定理 定理(帰納定理) とし、 とする。さらに写像 が…

整列集合 を順序集合とし、 を順序関係とします。以下、面倒なので であるとき と表し、「順序集合 」と書くことにします。 さて、順序集合 の部分集合 に対し、 を満たす が存在するとき、これを の最小元と言い、 と表します。 が全順序集合で、(ただし ) …

自然数の大小 いよいよ自然数の大小関係を再現します。その前に が成り立つことに注意します。実際 ならば前回の補題により なので となります。また、このことから直ちに が成り立つこともわかります。 さて とおいて、 が任意の自然数 について成り立つこ…

いよいよ、自然数に大小を定義したいのですが、その前に、一つ補題を示します。 補題 任意の自然数 について *1 (証明) とおく。 と はともに偽だから、 はともに真。 を示す。 ならば である。 ならば により であるから、 により、いずれの場合も が成り立…

Peano の公理 これから自然数にいろいろな構造を入れていく上で重要な、Peano の公理について説明します。 (P1) に対してある が確定する。 これは写像 が定まっている、とも言い換えられます。 のことを と書いているわけです。 (P2) これは、(P1) で定まっ…

さて、前回作った が、実は によらないことを示したいわけですが、そのために、もう一つ補題を示しておきます。 補題 (証明) を無限系譜とするとき、 も無限系譜となることは容易にわかります。よって となるので、前回の補題の 2. により が成り立ちます。…

まぁ、公理的集合論などと言わずとも、自然数は確かに存在しているのですが、それを公理的集合論の中で扱えるように、公理的集合論の中に「埋め込む」作業を、今回はやってみようと思います。 まず という論理式を用意しておきます*1。無限公理により、 が真…

選択公理 正則性公理の位置づけにはいろいろと議論もありましたが、ひとまずその辺は置いといて、いよいよ最後の公理を紹介します。 選択公理 これは、どれも空でなく、また互いに共通部分も持たない集合の族 z が与えられたならば、その要素たる各集合から…

正則性公理 さて、 なる集合の存在は、Russel の逆理と密接に関係するなど、いろいろと厄介な事情を引き起こします。出来るなら、そのような集合はない方がありがたいものです。そこで、そのような集合が存在しないことを保証するための公理が、正則性公理で…

もう少しだけ、分出公理図式の話にお付き合いください。その前に、補題を一つ証明しておきます。 補題 (証明) 和集合の定義により が成り立つ。一方 により だから となる。 定義域と値域 上記補題を元に、分出公理図式で とおくことで なる集合の存在が保証…