自然数から整数へ、そして有理数へ(その 7)

半群の交換法則の一般化

$(A,\alpha)$ を可換半群とするとき, 交換法則 $a\alpha b=b\alpha a$ を一般化します.

命題

$m,n\in\omega,m\lt n$ とし, $a_0,a_1,\dots,a_n$ を可換半群 $(A,\alpha)$ の台集合 $A$ の元とし, $\sigma\in S(n^+)(=S(\{0,1,\dots,n\}))$ とするとき
${\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i={\prod_{i=0}^n}^\alpha a_{\sigma(i)}$
が成り立つ.

(証明)

これは自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ である. $n=0$ のとき $S(0^+)=S(1)=1^1$ であるから $\sigma(0)=0$ であり, $P(0)$ は成り立つ. $P(n)$ が成り立つと仮定して $P(n+1)$ が成り立つことを示す. $\sigma\in S( (n+1)^+ )$ とする. $\sigma(n+1)=n+1$ なら帰納法の仮定により
$\begin{align}{\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_{\sigma(i)}&=\left({\prod_{i=0}^n}^\alpha a_{\sigma(i)}\right)\alpha a_{n+1}\\&=\left({\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i\right)\alpha a_{n+1}\\&={\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_i\end{align}$
である. $\sigma(n+1)\ne n+1$ ならば $\sigma(n+1)=k\lt n+1$ , また $m\lt n+1$ で $\sigma(m)=n+1$ となるものが確定する. さらに
$\sigma[\{0,1,\dots,n\}]=\sigma[n^+]=(n+1)^+ -\{k\}\ni n+1$
なので、 $\tau\in S(\sigma[n^+])$ を適当に取れば $\tau(\sigma(n))=n+1$ のようにできる. 故に $P(n)$ が成り立つことと $\alpha$ に関する結合法則と交換法則によって
$\begin{align}{\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_{\sigma(i)}&=\left({\prod_{i=0}^n}^\alpha a_{\sigma(i)}\right)\alpha a_k\\&=\left(\left({\prod_{i=0}^{n'}}^\alpha a_{\tau\circ\sigma(i)}\right)\alpha a_{n+1}\right)\alpha a_k\\&=\left({\prod_{i=0}^{n'}}^\alpha a_{\tau\circ\sigma(i)}\right)\alpha(a_{n+1}\alpha a_k)\\&=\left(\left({\prod_{i=0}^{n'}}^\alpha a_{\tau\circ\sigma(i)}\right)\alpha a_k\right)\alpha a_{n+1}\\&=\left({\prod_{i=0}^n}^\alpha a_i\right)\alpha a_{n+1}\\&={\prod_{i=0}^{n+1}}^\alpha a_i\end{align}$
となる. ここに $n'$ は $(n')^+=n$ をみたす自然数であり, $\{\tau\circ\sigma(0),\dots,\tau\circ\sigma(n'),k\}=\{0,1,\dots,n\}$ である. よって $P(n+1)$ の成り立つことが示されたから, 帰納法は完成する.