半群の交換法則の一般化
を可換半群とするとき, 交換法則
を一般化します.
命題
とし,
を可換半群
の台集合
の元とし,
とするとき
が成り立つ.
(証明)
これは自然数 に関する命題
である.
のとき
であるから
であり,
は成り立つ.
が成り立つと仮定して
が成り立つことを示す.
とする.
なら帰納法の仮定により
である. ならば
, また
で
となるものが確定する. さらに
なので、 を適当に取れば
のようにできる. 故に
が成り立つことと
に関する結合法則と交換法則によって
となる. ここに は
をみたす自然数であり,
である. よって
の成り立つことが示されたから, 帰納法は完成する.