Radon - Nikodym 微分(その 1) - Red cat の数学よもやま話

今回は、通常の微分を少し拡張した Radon - Nikodym 微分について解説します。

実測度

$(S,\mathcal{M})$ を可測空間とします(可測空間の定義については id:redcat_math:20060106 を参照)。 $\mathcal{M}$ の各集合に対して

$\varphi(\emptyset)=0$
$M_1,M_2,\dots\in\mathcal{M},M_i\cap M_j=\emptyset(i\neq j)$ ならば $\varphi(\bigcup_{n=1}^\infty M_n)=\sum_{n=1}^\infty\varphi(M_n)$

を満たす関数 $\varphi:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ を $\mathcal{M}$ 上の実測度と言います*1。通常の測度との違いは、値として負の値をとることを許す代わりに、値は常に有限であると限定しているところです。
なお、2 番目の条件に関しては、 $M_n$ の並びに関係なく成り立つので、Dirichlet - Riemann の定理により
$\sum_{n=1}^\infty|\varphi(M_n)|<\infty$
すなわち右辺の級数は絶対収束することが要請されます。

実測度の性質

補題 1

$\varphi(M_1)+\varphi(M_2)=\varphi(M_1\cup M_2)+\varphi(M_1\cap M_2)$ 、特に $M_1\cap M_2=\emptyset$ ならば $\varphi(M_1)+\varphi(M_2)=\varphi(M_1\cup M_2)$
(証明)
${M_2}^{\prime\prime}=M_2\setminus M_1\cap M_2$ とおくと

$M_1\cup M_2=M_1\cup{M_2}^{\prime\prime},M_1\cap{M_2}^{\prime\prime}=\emptyset$
$M_2=(M_1\cap M_2)\cup{M_2}^{\prime\prime},(M_1\cap M_2)\cap{M_2}^{\prime\prime}=\emptyset$

が成り立つので、実測度の性質 2 により
$\varphi(M_1\cup M_2)=\varphi(M_1)+\varphi({M_2}^{\prime\prime})$ ,
$\varphi(M_2)=\varphi(M_1\cap M_2)+\varphi({M_2}^{\prime\prime})$
を得るので結論を得る。

補題 2

$M_n\uparrow M$ または $M_n\downarrow M$ ならば $\lim_{n\to\infty}\varphi(M_n)=\varphi(M)$
(証明)
$M_n\uparrow M$ のとき
${M_1}^{\prime\prime}=M_1,{M_2}^{\prime\prime}=M_2\setminus M_1,{M_3}^{\prime\prime}=M_3\setminus M_2,\dots$
とおけば
${M_j}^{\prime\prime}\cap{M_k}^{\prime\prime}=\emptyset(j\neq k),\bigcup_{n=1}^\infty{M_n}^{\prime\prime}=M$
である。また補題 1 により
$\varphi(M_i)+\varphi(M_{i+1}\setminus M_i)=\varphi(M_i\cup M_{i+1})=\varphi(M_{i+1})$
なので
$\begin{align}\varphi(M)&=\sum_{n=1}^\infty\varphi({M_n}^{\prime\prime})\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\varphi({M_k}^{\prime\prime})\\&=\lim_{n\to\infty}\{\varphi(M_1)+\varphi(M_2\setminus M_1)+\dots+\varphi(M_n\setminus M_{n-1})\}\\&=\lim_{n\to\infty}\varphi(M_n)\end{align}$
$M_n\downarrow M$ のときは $M_1\setminus M_n\uparrow M_1\setminus M$ だから
$\begin{align}\varphi(M)&=\varphi(M_1)-\varphi(M_1\setminus M)\\&=\varphi(M_1)-\lim_{n\to\infty}\varphi(M_1\setminus M_n)\\&=\lim_{n\to\infty}\{\varphi(M_1)-\varphi(M_1\setminus M_n)\}\\&=\lim_{n\to\infty}\varphi(M_n)\end{align}$

補題 3

$\sup\{|\varphi(M)|:M\in\mathcal{M}\}<\infty$
(証明)
左辺が $\infty$ であるとして矛盾を示す。実際、この仮定の下に

$M_0\supset M_1\supset M_2\supset\dots$
$|\varphi(M_n)|\geq n$
$\sup\{|\varphi(M)|:M\in\mathcal{M},M\subset M_n\}=\infty$

なる集合列が取れることを示す。 $M_0=S$ とし、 $n=k$ まで集合列 $M_0,M_1,\dots,M_k$ が取れたとしよう。このとき
$M_{k+1}^{(0)}\subset M_k,|\varphi(M_{k+1}^{(0)})|\geq|\varphi(M_k)|+k+1$
であるような集合 $M_{k+1}^{(0)}$ が存在する。
$\sup\{|\varphi(M)|:M\in\mathcal{M},M\subset M_{k+1}^{(0)}\}=\infty$
ならば、 $M_{k+1}=M_{k+1}^{(0)}$ とすればよい。
$\sup\{|\varphi(M)|:M\in\mathcal{M},M\subset M_{k+1}^{(0)}\}<\infty$
ならば、この値を $\alpha$ とすれば $M\subset M_k$ に対し
$\begin{array}{cl}|\varphi(M\setminus M\cap M_{k+1}^{(0)})|&=|\varphi(M)-\varphi(M\cap M_{k+1}^{(0)})|\\&\geq|\varphi(M)|-|\varphi(M\cap M_{k+1}^{(0)})|\\&\geq|\varphi(M)|-\alpha\end{array}$
となって、この式の左辺の上限は $\infty$ となる。よって $M_{k+1}=M_k\setminus M_{k+1}^{(0)}$ とおけば
$\sup\{|\varphi(M)|:M\in\mathcal{M},M\subset M_{k+1}\}=\infty$
であり、なおかつ
$\begin{array}{cl}|\varphi(M_{k+1})|&=|\varphi(M_k)-\varphi(M_{k+1}^{(0)})|\\&\geq|\varphi(M_{k+1}^{(0)})|-|\varphi(M_k)|\\&\geq k+1\end{array}$
となるから、 $n=k+1$ に対しても、条件を満たす集合が取れる。よって数学的帰納法により、このような集合列の存在が示される。
ところで補題 2 により
$\varphi(\bigcap_{n=0}^\infty M_n)=\lim_{n\to\infty}\varphi(M_n)$
でなければならないが、右辺の極限値は存在しないから、これは矛盾である。

*1:同じ条件を満たす関数 $\varphi:\mathcal{M}\to\mathbb{C}$ を複素測度と言います。