Radon - Nikodym 微分(その 2) - Red cat の数学よもやま話

実測度の性質(続き)

前回の続きです。

補題 4

$\alpha=\{\varphi(M):M\in\mathcal{M}\}$ とすれば、 $\varphi(P)=\alpha$ となる $P\in\mathcal{M}$ が存在して

$M\subset P$ ならば $\varphi(M)\geq 0$
$M\cap P=\emptyset$ ならば $\varphi(M)\leq 0$

となる。
(証明)
補題 3 と実測度の性質 1 から $0\leq\alpha<\infty$ である。
$M_n(n=1,2,\dots)$ を
$\varphi(M_n)\geq\alpha-2^{-n}$
となるように取る。このとき
$P=\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}M_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty M_k$
とおくと $\varphi(P)=\alpha$ となることを示す。
$M_{n,m}=\bigcup_{k=0}^m M_{n+k}$
とおけば、 $m\to\infty$ のとき
$M_{n,m}\uparrow\bar{M_n}=\bigcup_{k=n}^\infty M_k$
ところで
$M_{n,m+1}=M_{n,m}\cup M_{n+m+1}$
だから
$\varphi(M_{n,m+1})\\=\varphi(M_{n,m}\cup M_{n+m+1})\\=\varphi(M_{n,m})+\varphi(M_{n+m+1})-\varphi(M_{n,m}\cap M_{n+m+1})\\\geq\varphi(M_{n,m})+\alpha-2^{-n-m-1}-\alpha\\=\varphi(M_{n,m})-2^{-n-m-1}$
となる。すなわち
$\varphi(M_{n,m+1})\geq\varphi(M_{n,m})-2^{-n-m-1}$
となる。この両辺を $m=0,1,\dots,p-1$ まで加えると
$\begin{array}{cl}\varphi(M_{n,p})&\geq\varphi(M_n)-\sum_{l=1}^p 2^{-n-l}\\&\geq\alpha-2^{-n}-2^{-n}\sum_{l=1}^p 2^{-l}\\&=\alpha-2^{-n}\sum_{l=0}^p 2^{-l}\\&=\alpha-2^{-n+1}(1-2^{-p-1})\\&>\alpha-2^{-n+1}\end{array}$
だから、 $p\to\infty$ として補題 2 により
$\varphi(\bar{M_n})\geq\alpha-2^{-n+1}$
$n\to\infty$ として再び補題 2 により $\varphi(P)\geq\alpha$ を得る。一方、 $\varphi(P)\leq\alpha$ は $\alpha$ の定義より明らかだから $\varphi(P)=\alpha$ 。
さて、 $M\subset P$ のとき $\varphi(M)<0$ とすると
$\varphi(P\setminus M)=\varphi(P)-\varphi(M)>\varphi(P)=\alpha$
となって $\alpha$ の定義に矛盾。
一方、 $M\cap P=\emptyset$ のとき $\varphi(M)>0$ とすると
$\varphi(M\cup P)=\varphi(M)+\varphi(P)>\varphi(P)=\alpha$
となり、これも $\alpha$ の定義に矛盾。