自然数から整数へ、そして有理数へ(その 5)

今回は後々使う事実からまず証明していきます。

定理

${a,b}$ を ${\omega}$ の元とするとき
${a\geq b\Leftrightarrow\exists c(c\in\omega\wedge a=b+c)}$

(証明)
右から左に関しては ${b\geq b,c\geq 0}$ から
${a=b+c\geq b+0=b}$
なので成り立つ.
左から右を示すため命題 ${P(n)}$ として
${n\geq 1\Rightarrow\exists m(m\in\omega\wedge n=m^+)}$
を用意し, まずこれを示す.
${P(0)}$ は真である. ${P(n)}$ が成り立つと仮定する. このとき ${n^+=n+1\geq 1}$ であり, ${m}$ として ${n}$ をとればよいから ${P(n^+)}$ も成り立つ.

さて ${a\geq b}$ とし,
${S=\{n\in\omega|b+n\geq a\}}$
とおく. ${b+a\geq a}$ であるから ${a\in S}$ なので ${S\ne\emptyset}$ . ${\omega}$ が整列集合であることはすでに示したので ${\min S}$ が存在する. これを ${c}$ とおく.
このとき ${b+c\geq a}$ であるが ${c=0}$ ならば ${b\geq a}$ となり, ${a\geq b}$ と合わせて ${a=b=b+0}$ であるから成り立つ. ${c\gt 0}$ ならば ${c\geq 1}$ だから, 先に示した命題により ${c=d^+}$ を満たす ${d\in\omega}$ が存在する. ${d\lt d^+}$ だから ${d\not\in S}$ なので
${b+d\lt a\leq b+d^+=(b+d)^+}$
となり ${a=b+d^+=b+c}$ . (終)

この定理と、自然数の大小に関して
${a\gt b,a=b,a\lt b}$
のうちのどれか一つだけが成り立つことを合わせると、任意の二つの自然数 ${a,b}$ について
${a=b+c(c\in\omega-\{0\}),a=b,b=a+c(c\in\omega-\{0\})}$
のどれか一つだけが成り立つことがわかります。(続く)