前回の続きですが、また補題を用意します。 補題(証明略) において が を満たしているならば、任意の に対して *1 さらに、 が有界可測で、開集合 で連続ならば、 に含まれる任意のコンパクト集合上で は に一様収束する。 (実際には関数列 でなく、あるパラ…

前回の続きです。 とおきます。このとき で が成り立ちます。ところで に対して 補題 2 ある定数 が存在して、任意の に対して *1 (実際は で良い) が成り立つので、任意の に対して … (*) が成り立ちます。そこで、関数解析学でよく知られるように、任意の …

前回の補題 1 を見て、何か気づかなかったでしょうか。 もし が連続関数なら、これは微積分学の基本定理そのものです。つまり、補題 1 は、ある意味これも微積分学の基本定理と呼ぶに相応しいものなのです。 しかし、 に関する条件がゆるくなっているので、…

まず、次の補題を認めることにします。 補題 1 を 上の局所可積分関数とし とおけば、 はほとんどいたるところ微分可能で (a.e.) が成り立つ。 これを認めたうえで、前回の定理を証明しましょう。 を絶対連続関数とすると、 によって定義される Lebesgue - S…

まず、これまでに確認したことをおさらいします。 測度 に関して絶対連続な実測度(または 有限な正測度)は、ある可測関数の積分の形に書ける 区間 上の絶対連続関数は有界変動関数であり、その Lebesgue - Stieltjes 測度は Lebesgue 測度に関して絶対連続で…

さて、昨日の問題の種明かし。 とおきます()。このとき に気づくと簡単。 のとき、右辺は 1 に収束するので が成り立ちます。したがって というわけです。皆さんは出来ましたか ? (^_^)

本格的な更新が出来るようになるまでしばらく時間が掛かりそうなので、場つなぎ的な更新で済ませます。 のとき が成り立つことを示せ. 気づくと簡単ですよ。種明かしは明日以降に。