Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 5)

前回の続きですが、また補題を用意します。

補題(証明略)

$(\mathbb{R}^d,\mathcal{L},m)$ において $k_n\in L^1(n=1,2,\dots)$ が

$\int k_n(x)dx=1$

$\sup\{||k_n||_1:n=1,2,\dots\}<\infty$

$\lim_{n\to\infty}\int\nolimit_{|x|\geq\rho}|k_n(x)|dx=0(\forall\rho>0)$

を満たしているならば、任意の $f\in L^p(1\leq p<\infty)$ に対して
$\lim_{n\to\infty}||k_n*f-f||_p=0$ *1
さらに、 $f(x)$ が有界可測で、開集合 $O$ で連続ならば、 $O$ に含まれる任意のコンパクト集合上で $k_n*f(x)$ は $f(x)$ に一様収束する。
(実際には関数列 $\{k_n\}$ でなく、あるパラメータに従う関数族 $\{k_\lambda\}$ でも良い)

この補題で
$d=1,k_\rho(x)=\frac{1}{2\rho}\chi_{(-\rho,\rho)}(x),p=1$
とおくと
$\lim_{\rho\to+0}\left\|\frac{1}{2\rho}\int_{-\rho}^\rho f(x+t)dt-f(x)\right\|_1=0$
が任意の $f\in L^1$ に対して成り立つことになります。もう少し書き換えると
$\lim_{\rho\to+0}\left\|\frac12(f_\rho+f_{-\rho})-f\right\|_1=0$
となります。このとき、適当な部分列
$\rho(1),\rho(2),\dots,\rho(n)\downarrow 0$
を取れば
$\frac12(f_{\rho(n)}(x)+f_{-\rho(n)}(x))\to f(x)$ (a.a. $x$ )
が成り立つ*2ので
$\lim_{u\to 0}f_u(x)$
が存在すれば、それは $f(x)$ に一致することが分かります。