Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 6)

2,3 の事実の証明を省いたものの、証明は徐々に完成に近づいてきました。残るは補題 2 です。しかし、補題 2 の証明のためには以下の補題が必要です。

補題 3

$A\in\mathbb{R}^d$ を任意の(可測でなくても良い)集合とする。今、 $A$ を覆う球の族 $\mathcal{B}=\{B_\kappa|\kappa\in K\}$ を考え、これに属する球の直径は有界であるとする。すなわち
$\sup\{{\rm diam} B:B\in\mathcal{B}\}<\infty$ .
このとき、族 $\mathcal{B}$ から、互いに共通部分を持たない高々加算個の $B_1,B_2,\dots$ を取り出して
$\sum m(B_n)\geq 5^{-d}m^*(A)$
とできる。

差し当たり、この補題 3 を用いて、先に補題 2 を証明します。
$M'f(x)$ の定義により、 $M'f(x)>\alpha$ ならば、 $x$ を端点に持つ区間 $I$ で
$\int_I |f(t)|dt>\alpha m(I)$ … (*)
を満たすものが取れます。 $I$ の長さを $\rho$ とすれば
$\alpha\rho\leq ||f||_1$
故、 $\rho$ は有界です。そこで (*) を満たす区間の族を $\mathcal{I}$ とすれば、これは
$E_\alpha=\{x:M'f(x)>\alpha\}$
に対して補題 3 の条件を満たす族となるので
$I(1),I(2),\dots\in\mathcal{I},I(j)\cap I(k)=\emptyset(j\neq k)$ ,
$\sum m(I(n))\geq m(E_\alpha)/5$
を満たすものが取れます。(*) と合わせて
$\begin{align}m(E_\alpha)&\leq 5\sum m(I(n))\\&\leq\frac{5}{\alpha}\sum\int_{I(n)} |f(t)|dt\\&\leq\frac{5}{\alpha}||f||_1\end{align}$
となり、補題 2 は示されました。
いよいよ次回、補題 3 を証明します。これで定理の証明は(一部省略しましたが、ほぼ)完成です。