Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 7)

長らく補題 3 の証明を放ってしまっていたので、ぼちぼちやります。

補題 3 の証明(前半)

$\delta_1=\sup\{{\rm diam}B : B\in\mathcal{B}\}$
とおき、 $B_1$ は ${\rm diam}B_1\gt\delta_1/2$ となるものを一つ固定しておく。そして
$\delta_2=\sup\{{\rm diam}B : B\in\mathcal{B},B\cap B_1=\emptyset\}$
として、 $B_2$ は ${\rm diam}B_1\gt\delta_2/2,B_1\cap B_2=\emptyset$ となるものを一つ取る。
このような操作を続けて
$\delta_{n+1}=\sup\{{\rm diam}B : B\in\mathcal{B},B\cap B_1=\emptyset,B\cap B_2=\emptyset,\dots,B\cap B_n=\emptyset\}$
として、 $B_{n+1}\in\mathcal{B}$ を
${\rm diam}B_{n+1}\gt\delta_{n+1}/2,$
$B_{n+1}\cap B_1=\emptyset,B_{n+1}\cap B_2=\emptyset,\dots,B_{n+1}\cap B_n=\emptyset$
となるように(可能であれば)取る。
この操作は途中で終わるか、無限に続くかである。このようにして
$B_1,B_2,\dots$
を定める。このようにして得られた $B_1,B_2,\dots$ に対して、 $\sum m(B_n)=\infty$ となれば、明らかに補題の不等式は成り立つ。従って $\sum m(B_n)\lt\infty$ を考える。この場合に補題を証明するため、 $B_n$ と中心を同じくして、半径が 5 倍になった球 $\tilde{B_n}$ を考えるとき
$\bigcup\tilde{B_n}\supset A$
を示そう。(続く)