ε - δ 論法(その 14) - Red cat の数学よもやま話

相変わらず変数、関数値ともに実数の場合で考えます。

極限の四則演算

定理 1

$\lim_{x\to a}f(x)=b,\lim_{x\to a}g(x)=c$ とし、b , c は有限の値とする。このとき

$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=b\pm c$
$\lim_{x\to a}kf(x)=kb(\forall k\in\mathbb{R})$

(証明)
いずれも以下の不等式および等式から明らか。

$|(f(x)\pm g(x))-(b\pm c)|=|(f(x)-b)\pm(g(x)-c)|\leq|f(x)-b|+|g(x)-c|$
$|kf(x)-kb|=|k||f(x)-b|$

$\qed$

b , c は有限の値としましたが、これは例えば $b=c=\infty$ のときの $\lim_{x\to a}(f(x)-g(x))$ などは $\infty-\infty$ となって、いわゆる「不定形」の形になってしまって具合が良くないので、このような条件を付けたまでです。

定理 2

定理 1 と同じ条件下で

$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=bc$
$c\neq 0$ ならば $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c}$

この定理の証明にはいくつかの補題が必要になります。

補題 1

$\lim_{x\to a}f(x)=b$ かつ b が有限の値ならば、ある $\delta>0$ があって f(x) は $|x-a|<\delta$ で有界である。
(証明)
$|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<1$
となるように $\delta>0$ を取れば、 $|x-a|<\delta$ のとき $|f(x)|<1+|b|.\qed$

$\lim_{x\to a}g(x)=c$ かつ $c\neq 0$ ならば、ある $\delta>0$ があって $|x-a|<\delta$ のとき $|g(x)|>\frac{|c|}{2}$ .
(証明)
$c\neq 0$ だから、ある $\delta>0$ があって $|g(x)-c|<\frac{|c|}{2}$ である。このとき
$\left| |g(x)|-|c|\right|\leq|g(x)-c|<\frac{|c|}{2}$
だから
$\frac{|c|}{2}<|g(x)|(<\frac32 |c|)$
を得る。 $\qed$

(定理 2 の証明)
前半は補題 1 を使うと
$|f(x)g(x)-bc|=|f(x)(g(x)-c)+c(f(x)-b)|\leq|f(x)||g(x)-c|+|c||f(x)-b|$
で f(x) が x = a のある近傍で有界なので、 $M>0$ があって
$|f(x)g(x)-bc|=\leq M|g(x)-c|+|c||f(x)-b|$
となることからわかる。
後半は補題 2 から
$\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{c}\right|=\frac{|g(x)-c|}{|c||g(x)|}<\frac{2}{|c|^2}|g(x)-c|$
となることからわかる。 $\qed$

以上のことから

定理 3

f(x) , g(x) が x = a で連続のとき、 $f(x)\pm g(x)$ 、および任意の実数 k に対して $kf(x)$ 、さらに $f(x)g(x)$ はまた x = a で連続である。さらに $g(a)\neq 0$ ならば $\frac{f(x)}{g(x)}$ も x = a で連続である。

が直ちに従います。合成についてはまた後ほど。