Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 8・最終回)

補題 3 の証明(後半)

さて、前半の最後に書いた式
$\bigcup\tilde{B_n}\supset A$
が示されれば
$m^*(A)\leq\sum m(\tilde{B_n})=5^d\sum m(B_n)$
となって補題 3 が示されたことになります。そこで
$x\in A,x\not\in\tilde{B_n}(n=1,2,\dots)$
となる $x$ があったとして矛盾を導きます。
$x$ はある $B\in\mathcal{B}$ に含まれているはずです。この $B$ がある $\tilde{B_k}$ に含まれていることが示されれば矛盾が得られるので、証明が完成します。
さて、 $B\cap B_k\not=\emptyset$ なる $B_k$ が存在することを示しましょう。仮定により $\sum m(B_n)<\infty$ なので $m(B_n)\to 0$ 。従って ${\rm diam}B_{n+1}<\frac12{\rm diam}B$ であるような $n$ が存在します。このとき、 $B_{n+1}$ の選び方から ${\rm diam}B>\delta_{n+1}$ です。よって $\delta_{n+1}$ の定義から
$B\cap B_k=\emptyset(k=1,2,\dots,n)$
とはなり得ません。
そこで、 $k$ を $B\cap B_k\not=\emptyset$ なる最初の番号とすれば、 $\delta_k\geq{\rm diam}B$ なので $B_k$ の選び方により ${\rm diam}B_k>\frac12{\rm diam}B$ です。
一方で $B\cap B_k\not=\emptyset$ であることから、 $B$ に属する点で $B_k$ の中心から最も遠い点であっても、その距離は
$\frac12{\rm diam}B_k+{\rm diam}B<\frac52{\rm diam}B_k=\frac12{\rm diam}\tilde{B_k}$
を超えることはありません。従って $B\subset\tilde{B_k}$ が成り立ち、矛盾が示されたので補題 3 の証明は完了しました。
だいぶ間が空いてしまいましたが、かくして当初の目的であった定理は証明され、絶対連続な関数はほとんどいたるところ微分可能で、かつそれは Radon-Nicodym 微分の結果と一致することが分かったわけです。Radon-Nicodym 微分は決して特殊なものではなく、通常の意味での微分の拡張に過ぎない、ということが分かったところで、今回はお開きにしたいと思います。