Lebesgue - Stieltjes 積分(その 6) - Red cat の数学よもやま話

正則測度

測度空間 $(S,\mathcal{M},\mu)$ において、 $S$ が局所 compact Hausdorff 空間の場合を考えます。このとき $\mu$ が
1. $\mu$ は完備
2. $\mathcal{B}(S)\subset\mathcal{M}$
3. $C$ が compact なら $\mu(C)<\infty$
4. $0<\mu(M)<\infty$ なる任意の $M\in\mathcal{M}$ に対して、任意に $\varepsilon>0$ を取ると、開集合 $O$ と compact 集合 $C$ で
$C\subset M\subset O,\mu(O\setminus M)\leq\varepsilon,\mu(M\setminus C)\leq\varepsilon$
を満たすものが存在する
を満たすとき、 $\mu$ は正則測度であると言います。

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質(続き)

Lebesgue - Stieltjes 測度は正則測度になります。そのために、以下の補題を証明します。

補題

$A\sub I$ に対して
${m_g}^*(A)=\inf\{m_g(O):O\in\mathcal{O}(I),O\supset A\}$
(証明)
${m_g}^*$ の定義より、任意の $\varepsilon>0$ に対し $A$ の被覆で
$A\subset\bigcup_{n=1}^\infty J_n,\sum_{n=1}^\infty|J_n|\leq{m_g}^*(A)+\varepsilon$
なるものがある。各 $J_n$ は開区間だから $O=\bigcup_{n=1}^\infty J_n$ は開集合。よって
$\inf\{m_g(O):O\in\mathcal{O}(I),O\supset A\}\leq{m_g}^*(A)+\varepsilon$
である。 $\varepsilon>0$ は任意だから
$\inf\{m_g(O):O\in\mathcal{O}(I),O\supset A\}\leq{m_g}^*(A)$
である。逆向きの不等式は明らかだから、結局等号が成り立つ。