Lebesgue - Stieltjes 積分(その 7) - Red cat の数学よもやま話

どうも手順前後している感が否めませんが、とりあえず続けます。

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質(続き)

$m_g$ は $\sigma$ 有限測度になります。実際、基礎となる区間 $I$ が有界閉区間であれば $m_g$ は有限測度だから明らかです。そうでないときは、 $I$ を内側から近似する有界閉区間を取る*1ことによって、このことは示されます。
このことを用いると、前回の補題から、任意の $g$ 可測集合 $M\subset I$ と $\varepsilon>0$ に対して

$O\in\mathcal{O}(I),m_g(O\setminus M)\leq\varepsilon$

を満たすものが存在することがわかります。実際、 $m_g(M)<\infty$ のときは、補題により
$m_g(O)\leq m_g(M)+\varepsilon$
となる開集合 $O$ ( $M\subset O\subset I$ ) が存在して
$m_g(O\setminus M)=m_g(O)-m_g(M)\leq\varepsilon$
となり、 $m_g(M)=\infty$ のときは
$M_n=M\cap I_n$ 、ただし $I=\bigcup_{n=1}^\infty I_n,m_g(I_n)<\infty$
とすれば $m_g(M_n)<\infty$ だから
$m_g(O_n)\leq m_g(M_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}$
となる開集合 $O_n\subset I$ が存在し、
$O=\bigcup_{n=1}^\infty O_n$
も開集合で

$O\supset\bigcup_{n=1}^\infty M_n=M$
$O\setminus M\subset\bigcup_{n=1}^\infty(O_n\setminus M_n)$

だから
$\begin{array}{cl}m_g(O\setminus M)&\leq m_g(\bigcup_{n=1}^\infty(O_n\setminus M_n))\\&\leq\sum_{n=1}^\infty m_g(O_n\setminus M_n)\\&\leq\sum_{n=1}^\infty\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon\end{array}$
となります。

*1:例えば $(0,1]=\bigcup_{n=1}^\infty[\frac{1}{1+n},1],(0,\infty)=\bigcup_{n=1}^\infty[\frac{1}{1+n},n]$ etc…