Lebesgue - Stieltjes 積分(その 8) - Red cat の数学よもやま話

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質(続き)

次に、任意の $g$ 可測集合 $M$ に対して

$A\in\mathcal{A}(I),m_g(M\setminus A)\leq\varepsilon$ *1

となるものが存在することを示します。
$I\setminus M\in\mathcal{M}$ に対して
$O\supset I\setminus M,m_g(O\setminus(I\setminus M))\leq\varepsilon$
となる開集合 $O\subset I$ が存在します。このとき $A=I\setminus O$ は閉集合で
$A\subset I\setminus(I\setminus M)=M$
となります。
$I=O+A=(I\setminus M)+(M\setminus A)+A$
故
$M\setminus A=O\setminus(I\setminus M)$
となるので
$m_g(M\setminus A)=m_g(O\setminus(I\setminus M))\leq\varepsilon$
となります。特に、 $m_g(M)<\infty$ の場合
$I=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$ 、各 $I_n$ は有界閉区間で $I_1\subset I_2\subset\dots$
となるように $I_n$ を取ると $M\cap I_n\uparrow M$ 故、十分大きい $n$ を取って
$m_g(M\setminus M\cap I_n)\leq\frac{\varepsilon}{2}$
とできます。一方で
$m_g((M\cap I_n)\setminus A)\leq\frac{\varepsilon}{2}$
を満たす有界閉集合 $A\subset M\cap I_n$ が存在します。従って
$m_g(M\setminus A)=m_g(M\setminus M\cap I_n)+m_g((M\cap I_n)\setminus A)\leq\varepsilon$
となり、 $A$ を有界閉集合、すなわち compact 集合に取ることができます。

*1: $\mathcal{A}(I)$ は $I$ の閉集合全体がなす集合です。