Lebesgue - Stieltjes 積分(その 10) - Red cat の数学よもやま話

さて、単調増加関数 $g$ から作られる Lebesgue - Stieltjes 測度 $m_g$ が Lebesgue 測度 $m$ に関して絶対連続であるとします。このとき
$g(a+0)-g(a-0)=m_g(\{a\})=0(\forall a\in I)$
が成り立つので $g$ は $I$ 上連続となる*1ことに注意します。
一方、Radon - Nikodym の定理により
$m_g(M)=\int_M k(x)dx(\forall M\in\mathcal{B}(I))$
となる Borel 可測関数 $k(x)$ が存在します。特に $a,b\in I,a<b$ に対して
$g(b)-g(a)=\int_a^b k(x)dx$
が成り立ちます。
実は、 $g$ に対してこのような関数 $k(x)$ が存在するための必要十分条件があるのですが、次回、その必要十分条件についてお話したいと思います。

*1: $g$ は単調増加だから、必然的に $g(a)=g(a+0)=g(a-0)$ となる。