Lebesgue - Stieltjes 積分(その 11) - Red cat の数学よもやま話

絶対連続関数

区間 $I\subset\mathbb{R}$ で定義されている関数 $g(x)$ が以下の条件を満たすとき、 $g$ は絶対連続であると言います。

任意の $a,b\in I,a<b$ と任意の $\varepsilon>0$ に対して適当な $\delta>0$ が存在し
$a\leq x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_{2n-1}\leq x_{2n}\leq b$
であるような $x_1,x_2,\dots,x_{2n-1},x_{2n}$ で
$(x_2-x_1)+\dots+(x_{2n}-x_{2n-1})<\delta$
を満たすものに対して、常に
$|g(x_2)-g(x_1)|+\dots+|g(x_{2n})-g(g_{2n-1})|\leq\varepsilon$
が成り立つ。

この条件で $n=1$ としたものは、ちょうど一様連続性の条件になっています。よって、絶対連続性は一様連続性よりも、従って連続性よりも強い条件になっています。