Lebesgue - Stieltjes 積分(その 12) - Red cat の数学よもやま話

測度の絶対連続と絶対連続関数の関係

定理

区間 $I\subset\mathbb{R}$ 上の単調増加関数 $g(x)$ から定義される Lebesgue - Stieltjes 測度 $m_g$ が、Lebesgue 測度 $m$ に関して絶対連続、すなわち
$g(b)-g(a)=\int_a^b k(x)dx(a,b\in I,a<b)$
となる Borel 可測関数 $k(x)$ が存在するための必要十分条件は、 $g(x)$ が絶対連続関数となることである。
(証明)
初めから $I=[a,b]$ として良い。このとき、 $m_g$ が $m$ に関して絶対連続であることは

任意の $\varepsilon>0$ に対して、適当に $\delta>0$ を取れば
$m(M)<\delta$ ならば $m_g(M)\leq\varepsilon$

と表せる。したがって、必要条件であることは
$M=[x_1,x_2]\cup\dots\cup[x_{2n-1},x_{2n}]$
に取ればすぐに示される。
十分条件となることを示そう。 $g(x)$ を絶対連続として、 $\varepsilon>0$ に対し、定義の条件のごとく $\delta>0$ が取れたとする。このとき
$m^*(A)<\delta$ ならば ${m_g}^*(A)\leq\varepsilon$
が言えれば十分である。
$A$ の開区間による被覆
$\Theta:A\subset\bigcup_{n=1}^\infty J_n,h(\Theta)<\delta$
を考える。
$M_n=\bigcup_{k=1}^n J_k$ とすれば、 $M_n$ は有限個の開区間の和集合ゆえ
$M_n=(x_1,x_2)\cup\dots\cup(x_{2n-1},x_{2n})$
と表せる。そして
$m(M_n)=(x_2-x_1)+\dots+(x_{2n}-x_{2n-1})\leq h(\Theta)<\delta$
であるから
$m_g(M_n)=(g(x_2)-g(x_1))+\dots+(g(x_{2n})-g(x_{2n-1}))\leq\varepsilon$
である。さすれば $M_n\uparrow\bigcup_{n=1}^\infty J_n$ により
$m_g(\bigcup_{n=1}^\infty J_n)=\lim_{n\to\infty}m_g(M_n)\leq\varepsilon$
だから
${m_g}^*(A)\leq m_g(\bigcup_{n=1}^\infty J_n)\leq\varepsilon$
となり、示された。

以上の定理により、絶対連続な単調増加関数は、ある Borel 可測関数の不定積分の形になることが分かります。この Borel 可測関数のことを $g(x)$ の Radon - Nikodym 導関数と言います。しかし、 $g(x)$ が通常の意味で微分可能だった場合の $g'(x)$ と、この Radon - Nikodym 導関数が一致するかどうかについては、まだ保障されていません。それを確認するには、もっと準備が必要なのですが、それは後回しにして、ここではもう少し Lebesgue - Stieltjes 積分の理論を深めていくことにします。