Lebesgue - Stieltjes 積分(その 9) - Red cat の数学よもやま話

これまでの議論によって、 $m_g$ が正則測度であることが示されました。このことによって、測度空間 $(I,\mathcal{M}_g,m_g)$ は、 $(I,\mathcal{B}(I),m_g)$ の完備化になっていることがわかります。従って、今後の議論は $g$ 可測集合とするところを Borel 可測集合に置き換えても、積分を論じる上では問題が無いことになります。

Lebesgue - Stieltjes 測度の例

(i) $g(x)=x$ とおくと $m_g$ は通常の Lebesgue 測度になります。
(ii) $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&(x<0)\\1&(x\geq 0)\end{array}\right.$ とおくと
$m_g(M)=\left\{\begin{array}{ll}1&(0\in M)\\0&(0\not\in M)\end{array}\right.$
となります。これは Dirac の $\delta$ 測度です。
(iii) $I$ を基礎空間とする測度空間 $(I,\mathcal{M},\mu)(\mathcal{M}\supset\mathcal{B}(I))$ において、 $a\in I$ として
$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mu([a,x))&(x>a)\\-\mu([x,a))&(x<a)\\0&(x=a)\end{array}\right.$
とおくと、 $g$ は単調増加関数で、 $m_g$ は任意の区間 $J\subset I$ 上で $\mu$ に一致します。従って $\mathcal{B}(I)$ 上 $\mu=m_g$ となります。よって、数直線上で測度を考えることは、実質上、Lebesgue - Stieltjes 測度だけを考えることと同じです。