Lebesgue - Stieltjes 積分(その 19・最終回) - Red cat の数学よもやま話

絶対連続関数は有界変動関数である

$g(x)$ を区間 $I\subset\mathbb{R}$ 上の絶対連続関数(絶対連続関数の定義は既に与えました)とし、 $\varepsilon>0$ を一つ固定して
$(x_2-x_1)+\dots+(x_{2n}-x_{2n-1})<\delta$ … (1)
ならば
$|g(x_2)-g(x_1)|+\dots+|g(x_{2n})-g(x_{2n-1})|\leq\varepsilon$ … (2)
を満たす $\delta>0$ を固定します。
$a,b\in I,a<b$ として、 $[a,b]$ の細分 $\Delta$ を考えるとき、細分をより細かく取った方が $\sum\nolimit_\Delta(a,b)$ の値は大きくなりますので
$\Delta:[a,b]=[t_0,t_1]\cup\dots\cup[t_{n-1},t_n]$
において $t_k-t_{k-1}<\frac{\delta}{2}(k=1,\dots,n)$ が成り立っているものとして構いません。
そして、 $\Delta$ における小区間をいくつかずつまとめて、その長さの和が $\frac{\delta}{2}$ と $\delta$ の間になるように、いくつかの組にします。最後に半端が出た場合は、それは一つの組として扱います。このとき、組の数は $\frac{2(b-a)}{\delta}+1$ を超えず、また、各組における変動の和は $\varepsilon$ 以下になるので
$\sum\nolimit_\Delta(a,b)\leq(\frac{2(b-a)}{\delta}+1)\varepsilon$
となり、 $g(x)$ は有界変動関数となることがわかります。
また、(1) のとき (2) が成り立つならば、各小区間をさらに細分することによって
$V(x_1,x_2)+\dots+V(x_{2n-1},x_{2n})\leq\varepsilon$
が成り立つことが確かめられます。
ところで、前回の定理で得られた $g_1(x),g_2(x)$ に対して
$g_1(x_{2k})-g_1(x_{2k-1})=V^+(x_{2k-1},x_{2k})\leq V(x_{2k-1},x_{2k})$
$g_2(x_{2k})-g_2(x_{2k-1})=V^-(x_{2k-1},x_{2k})\leq V(x_{2k-1},x_{2k})$
が成り立つので
$(g_1(x_2)-g_1(x_1))+\dots+(g_1(x_{2n})-g_1(x_{2n-1}))\\\leq V(x_1,x_2)+\dots+V(x_{2n-1},x_{2n})\leq\varepsilon$
同様に
$(g_2(x_2)-g_2(x_1))+\dots+(g_2(x_{2n})-g_2(x_{2n-1}))\leq\varepsilon$
が成り立つので、 $g_1(x),g_2(x)$ はともに絶対連続な単調増加関数となります。従って
$g(b)-g(a)=\int_a^b k(x)dx$
を満たす Borel 可測関数 $k(x)$ が存在し、これをやはり $g(x)$ の Radon - Nikodym 導関数と言います。