Lebesgue - Stieltjes 積分(その 18) - Red cat の数学よもやま話

定理

$g(x)$ が区間 $I\subset\mathbb{R}$ 上の有界変動関数ならば
$g(x)=g_1(x)-g_2(x)$ 、 $g_1(x),g_2(x)$ は単調増加
と表せる。
(証明)
${\sum\nolimit_\Delta}^+(a,b)=\sum_{k=1}^n\max\{g(x_k)-g(x_{k-1}),0\}$
${\sum\nolimit_\Delta}^-(a,b)=\sum_{k=1}^n\max\{g(x_{k-1})-g(x_k),0\}$
とおくと、次のことが容易に分かる。
${\sum\nolimit_\Delta}^+(a,b)\geq 0,{\sum\nolimit_\Delta}^-(a,b)\geq 0$
${\sum\nolimit_\Delta}^+(a,b)-{\sum\nolimit_\Delta}^-(a,b)=g(b)-g(a)$
${\sum\nolimit_\Delta}^+(a,b)+{\sum\nolimit_\Delta}^-(a,b)=\sum\nolimit_\Delta(a,b)$
そこで
$V^+(a,b)=\sup\{{\sum\nolimit_\Delta}^+(a,b):\Delta\}$
$V^-(a,b)=\sup\{{\sum\nolimit_\Delta}^-(a,b):\Delta\}$
とおけば、次のことも比較的容易に確かめられる。
$V^+(a,b)\geq 0,V^-(a,b)\geq 0$
$V^+(a,b)-V^-(a,b)=g(b)-g(a)$
$V^+(a,b)+V^-(a,b)=V(a,b)$
そこで、 $x_0$ を一つ固定して
$g_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}g(x_0)+V^+(x_0,x)&(x>x_0)\\g(x_0)-V^+(x,x_0)&(x<x_0)\\g(x_0)&(x=x_0)\end{array}\right.$
$g_2(x)=\left\{\begin{array}{ll}V^-(x_0,x)&(x>x_0)\\-V^-(x,x_0)&(x<x_0)\\0&(x=x_0)\end{array}\right.$
とおけば、 $g_1(x),g_2(x)$ は単調増加関数で
$g(x)=g_1(x)-g_2(x)$
が成り立つ。

有界変動関数に対する Lebesgue - Stieltjes 測度

有界変動関数 $g(x)$ を上記のように表したとき
$m_g=m_{g_1}-m_{g_2}$
とおきます。これは $I$ 上の一つの実測度になります。これを $g(x)$ に関する Lebesgue - Stieltjes 測度と言います。
有界変動関数を単調増加関数の差として表す方法は一通りではありませんが、そこから定められる Lebesgue - Stieltjes 測度は、そのような表し方に関係なく一意になります。