Lebesgue - Stieltjes 積分(その 14) - Red cat の数学よもやま話

単調増加関数の分解

区間 $I\subset\mathbb{R}$ 上の単調増加関数 $g(x)$ を与えると、これは
$g(x)=g_a(x)+g_s(x)+g_d(x)$
と分解することができます。ここで

$g_a$ は絶対連続な単調増加関数
$g_s$ は特異な連続単調増加関数*1
$g_d$ は離散的単調増加関数

であり、この分解は定数の和を無視して一意です。以下、その証明をしていきますが、「離散的単調増加関数」とは値の増加が離散的な点でしか起こらないもの、式で書けば、 $g(x)$ の不連続点を
$x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$
とする(これは大きさの順に並んでいなくても良い)とき
$g(b)-g(a)\\=(g(b)-g(b-0))+(g(a+0)-g(a))+\sum_{x_k\in(a,b)}(g(x_k+0)-g(x_k-0))$
と表せるものを言います。
(証明)
$g(x)$ の不連続点を
$x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$
とし、 $g(x)$ の連続点 $x_0$ を一つ固定する。その上で
$g_d(x)=\left\{\begin{array}{ll}g(x_0)+\sum_{x_0<x_k<x}(g(x_k+0)-g(x_k-0))&\\+(g(x)-g(x-0))&(x>x_0)\\g(x_0)-\sum_{x<x_k<x_0}(g(x_k+0)-g(x_k-0))&\\-(g(x+0)-g(x))&(x<x_0)\\0&(x=x_0)\end{array}\right.$
とおくと、 $g_d$ は $x_1,x_2,\dots,x_n,\dots$ でしか値の増加が起こらない離散的単調増加関数であり
$g_c(x)=g(x)-g_d(x)$
は連続な単調増加関数となる。このような $g_d$ の他に
$h_c(x)=g(x)-h_d(x)$
が連続な単調増加関数となるような離散的単調増加関数 $h_d$ が存在すれば
$h_d(x)-g_d(x)=g_c(x)-h_c(x)$
は連続関数であるから $h_d(x)-g_d(x)$ は定数である。
上記のごとく $g_d$ を固定し、 $g_c$ に対応する Lebesgue - Stieltjes 測度 $m_{g_c}$ の Lebesgue 分解を
$m_{g_c}=\mu_a+\mu_s$
( $\mu_a$ は Lebesgue 測度に関して絶対連続、 $\mu_s$ は Lebesgue 測度に関して特異)
として
$g_a(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mu_a([x_0,x])&(x\geq x_0)\\-\mu_a([x,x_0])&(x<x_0)\end{array}\right.$
$g_s(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mu_s([x_0,x])&(x\geq x_0)\\-\mu_s([x,x_0])&(x<x_0)\end{array}\right.$
とおけば、 $m_{g_a}=\mu_a,m_{g_s}=\mu_s$ であり、また、これを満たす $g_a,g_s$ は定数の和を無視して一意だから、所与の分解を得る。

*1:単調増加関数 $g$ が特異であるとは、その Lebesgue - Stieltjes 測度 $m_g$ が Lebesgue 測度に関して特異であるようなものを言います。