Lebesgue - Stieltjes 積分(その 15) - Red cat の数学よもやま話

特異な連続単調増加関数の例

$0\leq x\leq 1,\varphi_0(x)=x$ とし、自然数 $n$ に対して
$\varphi_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac12\varphi_{n-1}(3x)&(0\leq x\leq\frac13)\\\frac12&(\frac13\leq x\leq\frac23)\\\frac12\varphi_{n-1}(3x-2)+\frac12&(\frac23\leq x\leq 1)\end{array}\right.$
と定義します。このとき、各 $x\in[0,1]$ において
$\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)$
と定義します。これはカントール関数(Cantor function)と呼ばれ、カントール集合の上でしか値の増加が起こらない単調増加関数です。しかも、この関数は連続になります。
カントール集合 $C$ は Lebesgue 測度が 0 であることが知られています。一方で $m_\varphi([0,1]\setminus C)=0$ であることから、 $\varphi$ は Lebesgue 測度に関して特異な連続単調増加関数と分かります。