Lebesgue - Stieltjes 積分(その 16) - Red cat の数学よもやま話

本題に進む前に、もう少しだけ寄り道していきます。
$(S,\mathcal{M},\mu)$ を任意の測度空間として、 $f$ を $S$ 上非負の可積分関数とします。このとき
$g(x)=\mu(\{f\leq x\})$
とおいて、これを $f$ の分布関数と言います。分布関数は単調増加*1になるので、その Lebesgue - Stieltjes 測度が定義できますが、このとき、 $(0,\infty)$ 上で定義される非負の Borel 可測関数 $\varphi$ に対して
$\int\varphi(f(s))d\mu(s)=\int\varphi(x)dg(x)$ … (*)
が成り立つことを示します。
まず、 $0<a<b<\infty$ として $\varphi$ が $J=(a,b)$ 上の定義関数の場合を考えると、左辺は $\mu(\{a<f<b\})$ に等しく、右辺は
$g(b-0)-g(a+0)=\mu(\{f<b\})-\mu(\{f\leq a\})$
となるので、両辺は一致します。
$J=(a,b],[a,b),[a,b]$
の場合も同様です。
一方で、「ある有限区間 $[a,b]$ の外で 0 かつ (*) を満たし、さらに一定値 $\gamma$ で抑えられるような関数の全体」は、優収束定理により、極限操作について閉じています。また、このような関数の全体は、上記で見たように、区間の定義関数の線型結合を全て含むので、結局有界な Borel 可測関数全体を含むことになります。
有界でない Borel 可測関数 $\varphi$ については
$[\varphi]^n(x)=\left\{\begin{array}{ll}\varphi(x)&(\varphi(x)<n)\\n&(\varphi(x)\geq n)\end{array}\right.$
とおくと $[\varphi]^n$ に対して (*) が成り立ち、かつ $[\varphi]^n\uparrow\varphi$ なので、単調収束定理により、 $\varphi$ についても (*) が成り立ちます。
最後に $\varphi$ が有限区間の外で 0 という性質を持たないときは
$\varphi_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}\varphi(x)&(\frac1n\leq x\leq n)\\0&(0<x<\frac1n,n<x)\end{array}\right.$
とすれば、 $\varphi_n$ については (*) が成り立ち、また $\varphi_n\uparrow\varphi$ なので、再び単調収束定理によって $\varphi$ も (*) を満たすことが分かります。

*1:さらには右連続、すなわち $g(x+0)=g(x)$ になります。