Lebesgue - Stieltjes 積分(その 13) - Red cat の数学よもやま話

久々に本筋に戻ります。
区間 $I\subset\mathbb{R}$ 上の二つの連続な単調増加関数 $g,h$ が与えられたとき、その Lebesgue - Stieltjes 測度が一致する、すなわち $m_g=m_h$ となるのはどんなときでしょう。もし $m_g=m_h$ ならば、任意の $a,b\in I,a<b$ に対して
$g(b)-g(a)=m_g([a,b])=m_h([a,b])=h(b)-h(a)$
が成り立ちます。これを整理すると
$h(a)-g(a)=h(b)-g(b)$
となるので、 $h(x)-g(x)$ は定数、したがって
$h(x)=g(x)+c$ ( $c$ は定数) … (*)
が成り立ちます。逆に (*) が成り立つとき $m_g=m_h$ が成り立つことは容易に確かめられるので、(*) は $m_g=m_h$ が成り立つための必要十分条件です。