Lebesgue - Stieltjes 積分(その 5)

数学・解析

以下、g は区間 I 上の単調増加関数とします。

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質

一点からなる集合 \{a\} は g 可測です。それを知るには、a\in A\subset I なる集合に対して
{m_g}^*(A)={m_g}^*(\{a\})+{m_g}^*(A\setminus\{a\})
を示せばよいことになります。このことは、直ちに明らかとは言えませんが、示すことはさほど難しくないと思います。そして
m_g(\{a\})=g(a+0)-g(a-0)
となることがわかります。
同じように、I に含まれる区間は皆 g 可測となります。
m_g([a,b\)=g(b+0)-g(a-0),m_g*1=g(b-0)-g(a+0)\\m_g(\[a,b))=g(b-0)-g(a-0),m_g*2となります。従って
\mathcal{M}_g\supset\mathcal{B}(I)
が成り立ちます。ただし \mathcal{B}(I) は Borel 集合体と言って、I の開集合全体 \mathcal{O}(I) を全て含む最小の \sigma 集合体です。

*1:a,b

*2:a,b\])=g(b+0)-g(a+0)] 等…。 以上のことから I に含まれる開集合は全て可測((\mathbb{R} の開区間と I の共通部分として現せる区間が I の開基となるため。