Lebesgue - Stieltjes 積分(その 4) - Red cat の数学よもやま話

第一種不連続点と単調増加関数

一変数関数 $f(x)$ において
$f(a+0)=\lim_{x\to a+0}f(x),f(a-0)=\lim_{x\to a-0}f(x)$
がともに存在し、かつ両者の値が等しくないとき、 $x=a$ を $f$ の第一種不連続点と言います。

定理

$I\subset\mathbb{R}$ を区間とする。 $I$ 上の単調増加関数 $f:I\to\mathbb{R}$ の第一種不連続点は高々可算個である。
(証明)
任意の区間は高々可算個の閉区間の和に書ける*1から、 $I=[a,b]$ の場合に証明すればよい*2。自然数 $n$ に対して
$A_n=\{a\leq x\leq b:|f(x+0)-f(x-0)|>\frac{1}{n}|f(b)-f(a)|\}$
とおくと $|A_n|\leq n$ かつ
$A_1\subse A_2\subset\dots\subset A_n\subset\dots$
であり、
$\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\{a\leq x\leq b:|f(x+0)-f(x-0)|>0\}$
だから、第一種不連続点は高々可算個である。

*1:例えば $(0,1]=\bigcup_{n=1}^\infty[\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}]$

*2:可算集合の可算個の和集合は可算集合だから。