Lebesgue - Stieltjes 積分(その 3) - Red cat の数学よもやま話

Lebesgue - Stieltjes 測度の性質をいろいろと論ずる前に、少し測度論の復習(?)をします。

Carathéodory の外測度と完備測度

基礎となる集合 $S$ に対し、 $m^*:\mathcal{P}(S)\to[0,\infty]$ (つまり $\infty$ を値に取ることも許す)が

$m^*(\emptyset)=0$
$A\subset B\Rightarrow m^*(A)\leq m^*(B)$
$m^*(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)\leq\sum_{n=1}^\infty m^*(A_n)$

を満たすとき、これを $S$ 上の Carathéodory の外測度あるいは単に外測度と言います。
$S$ 上の外測度が与えられたとき
$\mathcal{M}=\{M\subset S:m^*(A)=m^*(A\cap M)+m^*(A\cap M^c)(\forall A\subset S)\}$
は $\sigma$ 集合体となります。そして $M\in\mathcal{M}$ に対して $\mu(M)=m^*(M)$ と定めることで測度空間 $(S,\mathcal{M},\mu)$ を得ることができます。

定理

Carathéodory の外測度から上記の方法によって導かれる測度空間は完備である。すなわち
$\mu(N)=0$ ならば任意の $M\subset N$ に対して $M\in\mathcal{M}$
が成り立つ。
(証明)
$\mu(N)=0,M\subset N$ とする。任意の $A\subset S$ に対して
$0\leq m^*(A\cap M)\leq m^*(A\cap N)\leq m^*(N)=0$
だから
$m^*(A\cap M)=m^*(A\cap N)=0$
である。このことから $m^*(A\cap N^c)=m^*(A)$ である。故に
$m^*(A)\geq m^*(A\cap M^c)\geq m^*(A\cap N^c)=m^*(A)$
となるので $m^*(A\cap M^c)=m^*(A)$ となるから
$m^*(A)=m^*(A\cap M)+m^*(A\cap M^c)$
が成り立つ。すなわち $M\in\mathcal{M}$ である。