Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 4)

前回の続きです。
$M'f(x)=\sup\{\frac{1}{u}\int_x^{x+u}|f(t)|dt:u\neq 0\}$
とおきます。このとき $|f_u(x)|\leq M'f(x)$ で
$\begin{align}\Omega f(x)&=\overline{\lim}f_u(x)-\underline{\lim}f_u(x)\\&\leq 2\overline{\lim}|f_u(x)|\\&\leq 2\sup\{|f_u(x)|:u\neq 0\}\\&\leq 2M'f(x)\end{align}$
が成り立ちます。ところで $M'f(x)$ に対して

補題 2

ある定数 $A>0$ が存在して、任意の $\alpha>0$ に対して
$m(\{x:M'f(x)>\alpha\})\leq\frac{A}{\alpha}||f||_1$ *1
(実際は $A=5$ で良い)

が成り立つので、任意の $\varepsilon>0$ に対して
$m(\{x:\Omega f(x)>\varepsilon\})\leq\frac{2A}{\varepsilon}||f||_1$ … (*)
が成り立ちます。そこで、関数解析学でよく知られるように、任意の $\delta>0$ に対して、台(support)がコンパクトな連続関数*2 $g(x)$ で
$||f-g||_1<\delta$
を満たすものが存在します。 $f^{(1)}=f-g$ とおくと、微積分学の基本定理から $\lim_{u\to 0}g_u(x)=g(x)$ が成り立つことに注意して
$\Omega f(x)=\Omega f^{(1)}(x)$
を得ることが出来ます。(*) は $f^{(1)}$ に対しても同じように成り立ちますので
$\begin{align}m(\{x:\Omega f(x)>\varepsilon\})&=m(\{x:\Omega f^{(1)}(x)>\varepsilon\})\\&\leq\frac{2A}{\varepsilon}||f^{(1)}||_1\\&<\frac{2A}{\varepsilon}\delta\end{align}$
です。 $\delta>0$ は任意でしたから、このことから
$m(\{x:\Omega f(x)>\varepsilon\})=0$
を得ます。ここで改めて $\varepsilon>0$ が任意だったことを思い出せば $\Omega f(x)=0$ (a.e.) が得られます。
次回は、 $\Omega f(x)=0$ なる $x$ 、すなわち $\lim_{u\to 0}f_u(x)$ が存在する $x$ に対して
$\lim_{u\to 0}f_u(x)=f(x)$
を証明します。

*1: $||f||_1=\int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx$

*2:実際には滑らかな、すなわち $C^\infty$ 級の関数が取れます。