Lebesgue - Stieltjes 測度と Radon - Nikodym 微分(その 2)

まず、次の補題を認めることにします。

補題 1

$f(x)$ を $\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数とし
$F(x)=\int_a^x f(t)dt$
とおけば、 $F(x)$ はほとんどいたるところ微分可能で
$F'(x)=f(x)$ (a.e.)
が成り立つ。

これを認めたうえで、前回の定理を証明しましょう。
$g(x)$ を絶対連続関数とすると、 $g$ によって定義される Lebesgue - Stieltjes 測度 $m_g$ は Lebesgue 測度に関して絶対連続。従って、ある可積分関数 $f(x)$ があって、任意の有限区間 $[a,b]$ に対して、 $m_g$ を $[a,b]$ 上の測度と見たとき、 $[a,b]$ に含まれる任意の Borel 集合 $M$ に対して
$m_g(M)=\int_M f(t)dt$
となる。
$F(x)=\int_a^x f(t)dt(a\leq x\leq b)$ … (1)
とおくと、 $[a,x]$ は $[a,b]$ の Borel 集合だから
$g(x)-g(a)=m_g([a,x])=\int_a^x f(t)dt=F(x)$ … (2)
である。補題 1 により $F(x)$ はほとんどいたるところ微分可能だから、 $g(x)$ もほとんどいたるところ微分可能で
$g'(x)=F'(x)=f(x)$ (a.e.)
が成り立つ。従って (1) , (2) より定理が示される。