Radon - Nikodym 微分(その 3) - Red cat の数学よもやま話

Hahn の分解定理

補題 4 により、可測空間 $(S,\mathcal{M})$ と、その上の実測度 $\varphi$ が与えられると、可測集合 $P$ で

$M\subset P$ ならば $\varphi(M)\geq 0$
$M\cap P=\emptyset$ ならば $\varphi(M)\leq 0$

を満たすものが取れることがわかりました。この $P$ を用いて

$\varphi^+(M)=\varphi(M\cap P)$
$\varphi^-(M)=-\varphi(M\setminus M\cap P)=-\varphi(M\cap P^c)$

とおくと $\varphi^+(M),\varphi^-(M)\geq 0$ かつ
$\varphi(M)=\varphi^+(M)-\varphi^-(M)$
が成り立ちます。ここで $\varphi^+(M),\varphi^-(M)$ は

$\varphi^+(M)=\sup\{\varphi(E):E\in\mathcal{M},E\subset M\}$
$\varphi^-(M)=\sup\{-\varphi(E):E\in\mathcal{M},E\subset M\}$

とも表せます。当然
$\varphi^+(S\setminus P)=0,\varphi^-(P)=0$
ですが、この意味でこの分解は一意であることがわかります。すなわち、二つの有限測度 $\mu_1,\mu_2$ で
$\varphi(M)=\mu_1(M)-\mu_2(M)$
で、かつ可測集合 $Q\in\mathcal{M}$ で
$\mu_1(S\setminus Q)=0,\mu_2(Q)=0$
が成り立つものが存在すれば $\mu_1=\varphi^+,\mu_2=\varphi^-$ となります。実際
$\varphi(M)=\varphi^+(M)-\varphi^-(M)=\mu_1(M)-\mu_2(M)$
から
$\mu_1(M)-\varphi^+(M)=\mu_2(M)-\varphi^-(M)$ … (*)
で

$M\subset P$ ならば $\mu_2(M)-\varphi^-(M)=\mu_2(M)\geq 0$
$M\cap P=\emptyset$ ならば $\mu_1(M)-\varphi^+(M)=\mu_1(M)\geq 0$

なので (*) 式の両辺は全ての $M\in\mathcal{M}$ に対して非負です。従って
$0\leq\mu_2(Q)-\varphi^-(Q)=-\varphi^-(Q)\leq 0$
より $\varphi^-(Q)=0$ 。同様に
$0\leq\mu_1(S\setminus Q)-\varphi^+(S\setminus Q)=-\varphi^+(S\setminus Q)\leq 0$
より $\varphi^+(S\setminus Q)=0$ 。従って全ての $M\in\mathcal{M}$ に対して
$\begin{align}\mu_1(M)&=\mu_1(M\cap Q)\\&=\varphi^+(M\cap Q)+\mu_2(M\cap Q)-\varphi^-(M\cap Q)\\&=\varphi^+(M\cap Q)\leq\varphi^+(M)\end{align}$
となるので $\mu_1(M)\leq\varphi^+(M)$ 。一方、(*) 式の両辺が非負であることから $\mu_1(M)\geq\varphi^+(M)$ となるので $\mu_1=\varphi^+$ 。従ってまた $\mu_2=\varphi^-$ となる。
この事実を Hahn の分解定理と言い、分解
$\varphi(M)=\varphi^+(M)-\varphi^-(M)$
のことを Hahn の分解と言います。また、 $\varphi^+,\varphi^-$ をそれぞれ $\varphi$ の正部分、負部分と言います。そして
$|\varphi|(M)=\varphi^+(M)+\varphi^-(M)$
のことを $\varphi$ の絶対変分、また $|\varphi|(S)$ を $\varphi$ の全変分と言います。

実測度に関する積分

$f(s)$ を $(S,\mathcal{M})$ 上の有界可測関数、 $\varphi$ を $(S,\mathcal{M})$ 上の実測度とするとき
$\int f(s)d\varphi(s)=\int f(s)d\varphi^+(s)-\int f(s)d\varphi^-(s)$
と定義します。このように定義すると、通常の積分とほぼ同じ性質が成り立ちます。ただし
$\left|\int f(s)d\varphi(s)\right|\leq\int|f(s)|d|\varphi|(s)$
となることにだけ注意します。