自然数から整数へ、そして有理数へ(その 3)

群

$(A,\alpha)$ を単位半群(モノイド)とし、 $e$ を単位元とします。もし、次の法則が成り立つならば、 $(A,\alpha)$ は群であると言います。

任意の $a\in A$ に対し、 $a$ によって定まる $A$ の元 $a^{-1}$ があって
$a\alpha a^{-1}=a^{-1}\alpha a=e$
を満たす。

$a^{-1}$ を $a$ の逆元と言います。

全変換半群と対称群

$A$ を集合とするとき、 $A$ から自身への写像の全体 $A^A$ のことを $I(A)$ とも表します。 $I(A)$ には写像の合成によって演算が定義され、これについて $I(A)$ は単位半群になります(単位元は恒等写像)。 $I(A)$ は全変換半群と呼ばれます。特に $I(A)$ の部分集合で、全単射だけを集めたものを $S(A)$ で表します。これは群になりますが、 $A$ 上の対称群と呼ばれます。