自然数から整数へ、そして有理数へ(その 2)

結合則と可換性、単位元

$(A,O)$ を代数系とし、 $\alpha\in O$ とします。また、 $\alpha(x,y)$ を $x\alpha y$ と書きます。

$(x\alpha y)\alpha z=x\alpha(y\alpha z)$
が任意の $x,y,z\in A$ について成り立つとき、この代数系は $\alpha$ について結合的であると言います。特に $(A,\alpha)$ が $\alpha$ について結合的であるとき、 $A$ は $\alpha$ について半群であると言います。

$x\alpha y=y\alpha x$
が任意の $x,y\in A$ について成り立つとき、この代数系は $\alpha$ について可換であると言います。半群 $(A,\alpha)$ が $\alpha$ について可換なとき、まとめて可換半群と言います。 $\bar{\mathbf{N}}^+,\bar{\mathbf{N}}^\times$ は、それぞれの演算に関して可換半群です。

さらに、 $A\neq\emptyset$ で
$x\alpha e=e\alpha x=x(\forall x\in A)$
となる $e\in A$ が存在するとき、この $e$ を $\alpha$ についての単位元と言います。 $\bar{\mathbf{N}}^+,\bar{\mathbf{N}}^\times$ は、それぞれ 0 , 1 を単位元に持ちます。

単位元を持つ半群を単位半群、もしくはモノイドと言います。 $\bar{\mathbf{N}}^+,\bar{\mathbf{N}}^\times$ はいずれも可換モノイドです。