自然数から整数へ、そして有理数へ(その 1)

以前、集合論の公理系を用いて自然数の集合 $\omega$ を定義し、その上に加法と乗法という算法を定義しました(べき乗も定義しましたが、今回は特に使いません)。今回は、それを拡張して整数と有理数を構成してみます。

代数系

$A$ を集合とし、 $O$ を $A^{A\times A}$ の部分集合とします(つまり $O$ は $A\times A$ から $A$ への写像の集まりです)。このとき $(A,O)$ を代数系と言います。 $A$ は台集合、 $O$ は算法族と言います。特に $O=\{\alpha\}$ のとき、 $(A,\{\alpha\})$ を単に $(A,\alpha)$ と書き、これを $A$ を台集合とする $\alpha$ 系と言います。

既に知っているように $(\omega,\{+,\times\})$ は代数系です。 $\omega$ をこの代数系の台集合と見るとき、特に $\bar{\mathbf{N}}$ と書きます。特に $(\omega,+),(\omega,\times)$ を $\bar{\mathbf{N}}^+,\bar{\mathbf{N}}^\times$ と表します。