公理的集合論における自然数の存在(その 11)

1 から始まる数学的帰納法

これまで用いてきた数学的帰納法は 0 から始まるものでした。しかし、数学的帰納法は、必ず 0 から始まるとは限りません。むしろ、高校で習った(人もいる)ように、1 から始まる場合の方が多かったりします。そこで、そのような場合にも数学的帰納法が使えることを示します。
$P(n)\equiv n\geq 1\to\exists m(m\in\omega\wedge n=m^+)$
を示します。まず、 $0\geq 1$ は成り立たないので、 $P(0)$ は常に成り立ちます。また、 $n^+=n+1\geq 1$ であり、 $m=n$ とすれば $m^+=n^+$ となることから $P(n^+)$ が常に成り立つので、 $P(n)\to P(n^+)$ も成り立ちます。故に $P(n)$ は全ての自然数 $n\in\omega$ について成り立ちます。このことから、写像 $\varphi(n)=n^+$ は $\omega$ から $\mathbb{N}=\omega\setminus\{0\}$ への全単射になることがわかります。
今、 $n\in\mathbb{N}$ を変数とする命題 $P_1(n)$ が与えられたとき、 $m^+=n$ となる $m\in\omega$ を用いて、新たな命題を
$P_2(m)\equiv P_1(m^+)$
とおくと、 $P_2(m)$ に対する(従来の)数学的帰納法
$[P_2(0)\wedge\forall m\in\omega(P_2(m)\to P_2(m+1))]\to\forall m\in\omega P_2(m)$
を書き換えて、新たに
$[P_1(1)\wedge\forall n\in\mathbb{N}(P_1(n)\to P_1(n+1))]\to\forall n\in\mathbb{N}P_1(n)$
という、別の形の数学的帰納法を得ることが出来ます。

積に関する性質(続き)

(6) $a>b,n\geq 1\to an>bn$
$n=1$ のときは (2) により明らかに成り立ちます。 $a>b\to an>bn$ が成り立てば、 $a>b$ のとき、和に関する性質の (5) により
$a(n+1)=a+an>b+bn=b(n+1)$
となります。よって全ての $n\geq 1$ に対して命題が成り立ちます。
この (6) と交換法則 (5) を合わせて考えると
$n\geq 1,na=nb\to a=b$
が成り立ちます。これは、 $n\geq 1$ のときは $\mu_n:\omega\to\omega$ が単射になることを意味しています。
以上により、自然数の積に関する性質は、完全に再現されました。