公理的集合論における自然数の存在(その 9)

和に関する性質

前回定義した自然数の和に関する性質を見ていきます。
(1) $a+0=0+a=a$
$a+0=\alpha_a(0)=a$ なので、 $0+a=a$ となることを数学的帰納法で示します。まず $0+0=\alpha_0(0)=0$ です。次に $0+n=n$ とすると
$\begin{align}0+n^+&=\alpha_0(n^+)\\&={\alpha_0(n)}^+\\&=n^+\end{align}$
となって $0+n^+=n^+$ が成り立つので、数学的帰納法により $0+a=a$ となります。これは、 $\alpha_0:\omega\to\omega$ が恒等写像であることを意味しています。
(2) $a>b\to a+n>b+n$
$n=0$ のときは (1) によって明らかです。
$a+n^+=\alpha_a(n^+)={\alpha_a(n)}^+=(a+n)^+$ 、同様に $b+n^+=(b+n)^+$ ですから $a>b\to a+n>b+n$ が成り立てば $a>b\to a+n^+>b+n^+$ が成り立つことがわかります*1。
(3) $(a+b)+c=a+(b+c)$ (結合法則)
$\alpha_a\circ\alpha_b=\alpha_{a+b}$ を示します。実際
$\alpha_a\circ\alpha_b(0)=\alpha_a(b)=a+b=\alpha_{a+b}(0)$
であり、 $\alpha_a\circ\alpha_b(n)=\alpha_{a+b}(n)$ とすると
$\begin{align}\alpha_a\circ\alpha_b(n^+)&=\alpha_a({\alpha_b(n)}^+)\\&={\alpha_a(\alpha_b(n))}^+\\&={\alpha_a\circ\alpha_b(n)}^+\\&={\alpha_{a+b}(n)}^+\\&=\alpha_{a+b}(n^+)\end{align}$
なので数学的帰納法により $\alpha_a\circ\alpha_b=\alpha_{a+b}$ です。
よって
$\begin{align}(a+b)+c&=\alpha_{a+b}(c)\\&=\alpha_{a+b}\circ\alpha_c(0)\\&=(\alpha_a\circ\alpha_b)\circ\alpha_c(0)\\&=\alpha_a\circ(\alpha_b\circ\alpha_c)(0)\\&=\alpha_a\circ\alpha_{b+c}(0)\\&=\alpha_a(b+c)\\&=a+(b+c)\end{align}$
となります*2。
(4) $a+b=b+a$ (交換法則)
$a+0=0+a(=a)$ は既に示しました。数学的帰納法の仮定により $a+n=n+a$ が成り立つとすると、 $\alpha_1(n)=n^+$ *3が成り立つことから
$\begin{align}a+n^+&=(a+n)^+\\&=\alpha_1(a+n)\\&=1+(a+n)\\&=1+(n+a)\\&=(1+n)+a\\&={n^+}+a\end{align}$
となるので、 $a+b=b+a$ が示されます。特に
$n^+=1+n=n+1$
です。また、(2) と (4) を合わせて考えると
$n+a=n+b\to a=b$ が成り立ちます。これは $\alpha_n:\omega\to\omega$ が単射であることを示しています。
(5) $a\geq b,c\geq d\to a+c\geq b+d$
これは (2) と (4) を用いて
$a+c\geq b+c=c+b\geq d+b=b+d$
として示せます。結論の式で等号が成り立つのは $a=c,b=d$ の場合に限ることは、(2) から明らかです。
$\omega$ に演算をこめて考えるとき、これを $\bar{\mathbb{N}}$ と書くことがありますが、今示したことは、代数系 $(\bar{\mathbb{N}},+)$ が、0 を単位元とする可換な単位半群であることを意味しています。実際、我々は、自然数とはそのようなものである、という認識があったはずですから、これによって、自然数の和は完全に再現されたことになります。

数学的帰納法を書き換える

改めて、数学的帰納法とは
$[P(0)\wedge\forall n\in\omega(P(n)\to P(n^+))]\to\forall n\in\omega P(n)$
というものでした。今、 $n^+=n+1$ がわかったので、これを書き換えると
$[P(0)\wedge\forall n\in\omega(P(n)\to P(n+1))]\to\forall n\in\omega P(n)$
となります。これは我々に馴染みの深い形です。高校のときに習った人もいるでしょう。Peano の公理が決して天下りなものでないことがわかると思います。