Radon - Nikodym 微分(その 10・最終回) - Red cat の数学よもやま話

$\sigma$ 有限な正測度の Radon - Nikodym 微分

最後に、Radon - Nikodym の定理から得られる、次の定理を証明しておきます。

定理

$(S,\mathcal{M},\mu)$ を $\sigma$ 有限な測度空間とする。 $\varphi$ を $(S,\mathcal{M})$ 上の $\sigma$ 有限な正測度で $\mu$ に関して絶対連続とする。このとき、いたるところ有限な値をとる可測関数 $f(s)$ が存在して
$\varphi(M)=\int_M f(s)d\mu(s)$
となる。この $f$ は、測度 0 の集合上を除いて一意に定まる。
(証明)
$\varphi$ は $\sigma$ 有限だから
$\varphi(S_n)<\infty,S_j\cap S_k=\emptyset(j\neq k),\bigcup_{n=1}^\infty S_n=S$
を満たす可測集合列が存在する。
$\varphi_n(M)=\varphi(M\cap S_n)$
とおけば、 $\varphi_n$ もまた $\mu$ に関して絶対連続で、 $\varphi_n$ は有限測度であるから、Radon - Nycodim の定理により
$\varphi_n(M)=\int_M f_n d\mu$
を満たす積分可能関数 $f_n$ が存在する。
$f(s)=f_n(s)(s\in S_n)$
とおけば $f$ は可測で
$\varphi(M)=\int_M fd\mu$
を満たす。
Radon - Nikodym の定理及び上記定理における $f$ のことをしばしば $\frac{d\varphi}{d\mu}(s)$ と書き、 $\varphi$ の Radon - Nikodym 導関数と言います。