型待ち行列 今度は窓口が複数の場合を考えてみましょう。そうすると、客の到着に関しては今まで通りですが、サービスの方が確率が若干変化します。すなわち、時刻 の間に一人のサービスが終わる確率は、窓口が複数であることから と変化します。一方で時刻 …

型待ち行列(続き) さて、 とわかったところで を求めてみましょう。そのために一つ公式を用意しておきます。 のとき の両辺を について微分して 故に ゆえに さて、今度は待ち時間ですが、 は、客が到着してからサービスを受け始めるまでの時間であり、この…

型待ち行列(続き) 微分方程式系 が のとき、 で平衡状態になると考え、 とします。 と考えられます*1から、平衡状態において が成り立ちます。第 2 式を変形すると となるので、第 1 式と合わせて , すなわち が成り立ちます。このことから となりますが、 …

型待ち行列 まずは、最も基本的な 型待ち行列を解析してみましょう。時刻 の時点での系の長さが である確率を で表します。時刻 の時点で系の長さが 0 である確率 を求めてみましょう。以下の 4 パターンが考えられます。 時刻 の時点で系の長さが 0 で、時…

これからしばらくは待ち行列理論にお付き合いいただきます。とりあえず独特の用語が多いので、最初に用語の定義だけしておきます。 平均到着間隔と平均到着率 客の到着間隔を確率変数と見たとき、その従う分布を到着分布と言い、その期待値を平均到着間隔と…

実は今まで話してきた指数分布のランダム性は、記憶の欠如と呼ばれる、次の性質が大きく関係しています。T を指数分布に従う確率変数とするとき が記憶の欠如です。待ち行列に絡めて話をすれば「次の客が来るまでの時間は、それまでの経過時間には影響されな…

客の平均到着率を とします。このとき、時刻 の間に到着する客の数は期待値 のある分布に従っているはずです。今仮に、それがポアソン分布であるとしましょう。その確率密度関数は … (*) です。最後の客が到着した時点から起算して、次の客が到着するまでの…

さて、客の到着がランダム(到着間隔が指数分布に従う)であるとき、前回の結果から、時刻 の間に到着する客の数 について が得られました。ここで、時刻 の間に 人の客が到着する確率を で表すことにすれば ですから と、微分方程式を立てることができます。 …

いま、ある窓口に客が次々と到着する状況を想定します。そして、その客の到着間隔が指数分布に従っているとします。指数分布の確率密度関数は をある定数として で、その期待値は です。*1現在時刻を とし、それ以前に最後に客が訪れた時刻を とします。この…

二つの確率変数 (X, Y) の同時分布の確率密度関数 p(x,y) が分かっていると、今回の P(Y < X) のような確率は二重積分でも求められます。ちなみに X と Y が独立ならば、X の確率密度関数を f(x)、Y の確率密度関数を g(y) とするとき、(X, Y) の同時分布の…

とある国家試験に次のような問題が出たそうです。 0 から 1 までの一様乱数から X と Y を取り出すことを 600 回繰り返す。このとき Y < X を満たす回数の期待値はいくらか。 実際には選択肢が与えられているので、勘で当てられなくもありませんが、ちょっと…

近傍系を与えることによる定義(続き) 示すべきことは です。まず とします。このとき なので は (*) を満たします。すなわち が成り立ちます。そして なので 2. により . 故に が成り立ちます。ここまで、近傍の性質の 2. と 3. しか用いてないことに留意し…

近傍系を与えることによる定義 今、 の各点 に対して、空でない の部分集合 が与えられていて、次の性質を満たすものとします。 全ての に対して . で ならば . ならば . 任意の に対して、次の条件を満たす が存在する : の任意の点 に対して . これらの性…

閉包作用子を与えることによる定義(別法) 閉包作用子を与えて位相を定める方法としては、別の方法があります。その前に、一般に X に開集合系が与えられているとして、次の事実を証明します。 定理 証明 だから は を含む閉集合である。 を閉集合で とする。…

閉包作用子を与えることによる定義 今度は閉包作用子を与えることによって、そこから閉集合系を再現してみましょう。閉集合系を再現できれば、自動的に開集合系を再現できるので、位相が定まります。まず閉包作用子の性質を見てみましょう。 ならば このとき…

開核作用子を与えることによる定義(続き) 先のようにして作られた開集合系から開核作用子を再現したとき、それが元のものと一致することを見なければいけません。さて、 は 2. そのものです。また 5. から がわかります。また、 ならば、 の定義と 3. から …

ちょっとコーヒーブレイクを。 とします。 ですが、ここで と置換すると , すなわち となります。そこで両辺の が 1 から までの和をとって となるので と、 関数が 関数と定積分で表せます。ここで とおけば .

開核作用子を与えることによる定義 開核作用子は以下の性質をもつものでした。開核作用子の与えられた空間を とします。 ならば そこで、 の開集合系 を で定義します。これが開集合系の定義を満たすことを示します。まず 1. により であり、2. から なので …

一般に、現代数学では位相空間を定義する際に開集合系を与えるのが慣例になっていますが、それ以外の方法でも位相空間を定義できることを以前お話ししました。今日からしばらくは、それらが全て同等であることを見ていきます。 閉集合系を与えることによる定…

秋葉忠利・広島市長はご存知の方も多いと思いますが、実は id:yoshitake-h さんによると 彼は, かつてサトウ・ハジメ先生, 故カワクボ先生とともにトポロジー三羽烏と称された数学者でもあり, 佐武一郎「線型代数学」の序文にも登場する. とのこと。調べてみ…

Problem 17 で完全に頓挫しております。プログラムは書けたはずなんですが、出てくる答が正しくないと言われる…もしかして綴り間違ってるのか ?

Java でちまちまとプログラムを作りながら、とりあえず Problem 16 まで解きました。Problem 17 は「1 から 1000 までの各数を英語に直すと、合計で何文字になるか ? (ただし空白やハイフンは除く)」というもの。いくら私が英語が苦手と言っても、数字を英語…

「Project Euler」というサイトで、数学の問題が現在 293 問出題されています。私もプログラミングの復習を兼ねてちまちまと解いています(まだ 2 問だけですが)。皆さんも良かったら挑戦してみてはいかが ?

実は Pascal の定理とは何の関係も無かったの図。メネラウスの定理とか使うんでしょうかね ?

平面上の 2 次曲線上に 2 点を取ります。また、その 2 点とは別に 3 点を取ります。そして、最初に取った 2 点のそれぞれから、後から取った 3 点に向けて 3 本ずつ直線を引きます。後は図を見て了解していただくとして、2 次曲線に絡む共点定理ができます。…

今年もエイプリルフールがやってまいりました。今年は、私自身のネタではなく、秀逸な記事を発見しましたのでそちらの紹介。リーマン予想 ついに決着／akachan.aceの実験室上手い、実に上手い。これを見せられたら、今更自作のネタなど思いつきません。

150 次まで調べましたが、やはり 以外の係数が現れるのは 105 次のみ。うーん…。

サイトにアップしている円分多項式の表を 120 次まで追加しました。 以外の係数が出てくるのは 105 次だけでした。暇があったらもっと先、150 次くらいまで調べてみたいと思います。

復刊 可換環論作者: 松村英之出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2000/09/01メディア: 単行本購入: 3人 クリック: 23回この商品を含むブログ (5件) を見るついに奮発して購入。これでもういちいち図書館で借りる必要がなくなった…!

図の赤線は C から辺 AB に下ろした垂線、G はその垂線の足。こうしてみれば円周角の定理から容易に証明できます。