Red cat の数学よもやま話

位相空間を様々な方法で定義する(その 1)

数学・解析

一般に、現代数学では位相空間を定義する際に開集合系を与えるのが慣例になっていますが、それ以外の方法でも位相空間を定義できることを以前お話ししました。今日からしばらくは、それらが全て同等であることを見ていきます。

閉集合系を与えることによる定義

集合 $X$ 上に閉集合系 $\mathcal{A}$ が与えられたとき、開集合系 $\mathcal{O}$ を
$\mathcal{O}=\{A^c|A\in\mathcal{A}\}$
で定義します。 $A^c$ は $A$ の補集合を表します。このとき

$\emptyset=X^c\in\mathcal{O},X=\emptyset^c\in\mathcal{O}$ .
$O_\lambda\in\mathcal{O}(\lambda\in\Lambda)$ ならば $O_\lambda={A_\lambda}^c$ となる $A_\lambda\in\mathcal{A}$ が存在するから $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{A_\lambda}^c=\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^c\in\mathcal{O}$ .
$O_1,O_2\in\mathcal{O}$ ならば $O_1={A_1}^c,O_2={A_2}^c$ となる $A_1,A_2\in\mathcal{A}$ が存在するから $O_1\cap O_2={A_1}^c\cap{A_2}^c=(A_1\cup A_2)^c\in\mathcal{O}$ .

したがって $\mathcal{O}$ は開集合系の性質を満たします。