Red cat の数学よもやま話

位相空間を様々な方法で定義する(その 2)

数学・解析

開核作用子を与えることによる定義

開核作用子は以下の性質をもつものでした。開核作用子の与えられた空間を $X$ とします。

$X^\circ=X$
$M^\circ\subset M$
$M\subset N$ ならば $M^\circ\subset N^\circ$
$(M\cap N)^\circ=M^\circ\cap N^\circ$
$M^{\circ\circ}=M^\circ$

そこで、 $X$ の開集合系 $\mathcal{O}$ を
$\mathcal{O}=\{M\subset X|M^\circ=M\}$
で定義します。これが開集合系の定義を満たすことを示します。

まず 1. により $X^\circ=X$ であり、2. から $\emptyset^\circ=\emptyset$ なので $\emptyset,X\in\mathcal{O}$ .

次に、 $O_\lambda\in\mathcal{O}(\lambda\in\Lambda)$ であるとき、 $O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$ とおくと、2. により $O^\circ\subset O$ は明らかで、 $O\supset O_\lambda$ から 3. により $O^\circ\supset {O_\lambda}^\circ=O_\lambda$ となり、 $O^\circ\supset O$ も言えるので $O^\circ=O$ 、すなわち $O\in\mathcal{O}$ .

最後に、 $O_1,O_2\in\mathcal{O}$ ならば 4. により $(O_1\cap O_2)^\circ={O_1}^\circ\cap{O_2}^\circ=O_1\cap O_2$ なので $O_1\cap O_2\in\mathcal{O}$ .