位相空間を様々な方法で定義する(その 6)

近傍系を与えることによる定義

今、 $X$ の各点 $x$ に対して、空でない $\mathcal{P}(X)$ の部分集合 $\mathbf{V}(x)$ が与えられていて、次の性質を満たすものとします。

全ての $V\in\mathbf{V}(x)$ に対して $x\in V$ .
$V\in\mathbf{V}(x)$ で $V\subset V'$ ならば $V'\in\mathbf{V}(x)$ .
$V_1,V_2\in\mathbf{V}(x)$ ならば $V_1\cap V_2\in\mathbf{V}(x)$ .
任意の $V\in\mathbf{V}(x)$ に対して、次の条件を満たす $W\in\mathbf{V}(x)$ が存在する : $W$ の任意の点 $y$ に対して $V\in\mathbf{V}(y)$ .

これらの性質をもとに、開集合系 $\mathcal{O}$ を定義します。 $O\in\mathcal{O}$ であるとは
$x\in O\Rightarrow O\in\mathbf{V}(x)$ … (*)
であることと定義します。

$O\in\mathcal{O}$ の定義から直ちに $\emptyset\in\mathcal{O}$ です。一方 $x\in X$ に対して、 $\mathbf{V}(x)$ は空ではないからある $V\in\mathbf{V}(x)$ が存在し、 $V\subset X$ だから $X\in\mathbf{V}(x)$ です。したがって $X\in\mathcal{O}$ .

$O_\lambda\in\mathcal{O}(\lambda\in\Lambda)$ とし、 $O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$ とします。 $O=\emptyset$ なら問題ないので $O\neq\emptyset$ とし、 $x\in O$ とします。このとき $x\in O_\lambda$ となる $\lambda\in\Lambda$ が少なくとも一つ存在して $O_\lambda\in\mathbf{V}(x)$ . $O_\lambda\subset O$ だから $O\in\mathbf{V}(x)$ 、よって $O\in\mathcal{O}$ .

$O_1,O_2\in\mathcal{O}$ とします。 $O_1\cap O_2=\emptyset$ なら問題ないので $O_1\cap O_2\neq\emptyset$ とします。このとき $x\in O_1\cap O_2$ とすれば $x\in O_1$ より $O_1\in\mathbf{V}(x)$ . 同様に $O_2\in\mathbf{V}(x)$ . よって 3. により $O_1\cap O_2\in\mathbf{V}(x)$ . したがって $O_1\cap O_2\in\mathcal{O}$ .