位相空間を様々な方法で定義する(その 5)

閉包作用子を与えることによる定義(別法)

閉包作用子を与えて位相を定める方法としては、別の方法があります。その前に、一般に X に開集合系が与えられているとして、次の事実を証明します。

定理

証明

だから は を含む閉集合である。 を閉集合で とする。このとき で は開集合であるから である。したがって である。つまり は を含む最小の閉集合である。よって 。

ここで閉包作用子を 、開核作用子を と書くことにすると

と表せます。

これを逆手にとって、閉包作用子 が与えられたとき、開核作用子 を

で定義すると、これは開核作用子の性質を満たすことが分かります。実際

1. 
2. だから 、 を に置き換えて
3. ならば 、よって 、もう一度補集合をとって
4. 
5. 

なので、 は開核作用子の性質を満たします。このようにして定義された開核作用子から開集合系を再現すれば、やはり位相構造が得られます。