位相空間を様々な方法で定義する(その 4)

閉包作用子を与えることによる定義

今度は閉包作用子を与えることによって、そこから閉集合系を再現してみましょう。閉集合系を再現できれば、自動的に開集合系を再現できるので、位相が定まります。まず閉包作用子の性質を見てみましょう。

$\bar{\emptyset}=\emptyset$
$M\subset\bar{M}$
$M\subset N$ ならば $\bar{M}\subset\bar{N}$
$\bar{M\cup N}=\bar{M}\cup\bar{N}$
$\bar{\bar{M}}=\bar{M}$

このとき閉集合系 $\mathcal{A}$ を
$\mathcal{A}=\{M\subset X|\bar{M}=M\}$
で定義します。すると、1. から $\emptyset\in\mathcal{A}$ 、また 2. から $\bar{X}=X$ が導かれるので $X\in\mathcal{A}$ です。次に $A_\lambda\in\mathcal{A}(\lambda\in\Lambda)$ のとき、 $A=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ とおくと、2. より $A\subset\bar{A}$ は明らか、また各 $\lambda\in\Lambda$ について $A\subset A_\lambda$ だから 3. により $\bar{A}\subset\bar{A_\lambda}=A_\lambda$ なので $\bar{A}\subset A$ もわかり $\bar{A}=A$ 、すなわち $A\in\mathcal{A}$ です。最後に $A_1,A_2\in\mathcal{A}$ ならば 4. により $\bar{A_1\cup A_2}=\bar{A_1}\cup\bar{A_2}=A_1\cup A_2$ なので $A_1\cup A_2\in\mathcal{A}$ 。

以上により $\mathcal{A}$ は閉集合系の性質を満たしますが、これから再現される閉包作用子が元のものに一致することを見ておきます。

$M\subset\bar{M}$ は 2. そのものです。また 5. により $\bar{M}\in\mathcal{A}$ です。 $M\subset A,A\in\mathcal{A}$ とすると、 $\mathcal{A}$ の定義と 3. により $\bar{M}\subset\bar{A}=A$ 。

実は、この閉包作用子によって集合に位相を定める方法は Kuratowski によるもので、そのため、先に挙げた閉包作用子の 5 つの性質は「Kuratowski の公理系」と呼ばれます。