距離空間から位相空間へ(その 5) - Red cat の数学よもやま話

内部作用子、閉包作用子による位相の定義

位相空間における集合の内部と閉包について述べましたが、逆に、内部の性質 2 〜 4*1を満たすような、集合 M に $M^\circ$ を対応させる作用子(内部作用子)を定めることで、やはり位相空間が得られます。そのとき、開集合は内部の性質 1 をみたすようなもの、と定義すれば良いことが分かります。
一方、閉包の性質 2 〜 4*2をみたすような、集合 M に $\bar{M}$ を対応させる作用子(閉包作用子)を定めることでも、同じ位相空間が得られます。そのとき、閉集合は閉包の性質 1 を満たすようなもの、と定義すれば良いことが分かります。

近傍

位相空間 X の点 x に対して $x\in V^\circ$ を満たす集合 V を x の近傍と言い、x の近傍全体を $\mathbf{V}(x)$ で表します。近傍は以下の性質を満たします。

全ての $V\in\mathbf{V}(x)$ に対して $x\in V$
$V\in\mathbf{V}(x),V\subset V'$ ならば $V'\in\mathbf{V}(x)$
$V_1,V_2\in\mathbf{V}(x)$ ならば $V_1\cap V_2\in\mathbf{V}(x)$
任意の $V\in\mathbf{V}(x)$ に対して $y\in W$ ならば $V\in\mathbf{V}(y)$ をみたすような $W\in\mathbf{V}(x)$ が存在する。

逆に、この性質をみたす集合系が X の各点 x に与えられたとき、O が X の開集合であることを
$x\in O\Rightarrow O\in\mathbf{V}(x)$
もしくは同じことですが
$(\forall x\in O)(\exists V\in\mathbf{V}(x))(V\subset O)$
と定義することにより位相空間が得られます。

*1:「性質」とは距離空間のところで述べたものです。

*2:これも距離空間のところで述べたものです。