距離空間から位相空間へ(その 6) - Red cat の数学よもやま話

基本近傍系

前回、近傍系(= 近傍の全体) $\mathbf{V}(x)$ を定義しましたが、これに対する基本近傍系 $\mathbf{V}^*(x)$ とは、任意の $V\in\mathbf{V}(x)$ に対して $W\subset V$ となる $W\in\mathbf{V}^*(x)$ が存在するものを言います。例えば

$x$ を含む開集合の全体
距離空間 $(X,d)$ における $\{U(x;\varepsilon)|\varepsilon>0\}$

などが基本近傍系になります。一般に基本近傍系は

全ての $V\in\mathbf{V}^*(x)$ について $x\in V$
$V_1,V_2\in\mathbf{V}^*(x)$ ならば $V_3\subset V_1\cap V_2$ となる $V_3\in\mathbf{V}^*(x)$ が存在する
$V\in\mathbf{V}^*(x)$ にたいして $W\subset V$ となる $W\in\mathbf{V}^*(x)$ を適当に取ると、全ての $y\in W$ に対して $V_y\subset V$ となる $V_y\in\mathbf{V}^*(y)$ が存在する

の性質を満たします。逆に、このような性質を満たす $\mathbf{V}^*(x)$ が与えられたとき
$\mathbf{V}(x)=\{V|(\exists W\in\mathbf{V}^*(x))(W\subset V)\}$
と定めれば、基本近傍系から近傍系を再現することができます。
なお、基本近傍系として高々可算なものを取ることができるとき、その位相空間は第 1 可算公理を満たすと言います。距離空間なら
$\{U(x;1/n)|n=1,2,\dots\}$
も基本近傍系になるので、第 1 可算公理を満たします。

結局、位相空間とは

ここまで、位相空間の作り方をいくつか見てきましたが、どれも同等なものであることも同時に見てきました。位相空間とは、このような数学的構造が与えられた集合のことを言うのであり、位相とはその構造のことを言うのです。稀に、開集合系のことを「位相」と呼ぶ人もいますが、それは正しい認識ではありません。