距離空間から位相空間へ(その 7・最終回)

最後に、写像の連続性について見てみます。
距離空間 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ に対し
$U_X(a;\varepsilon)=\{x\in X|d_X(x,a)<\varepsilon\}$
$U_Y(b;\varepsilon)=\{y\in Y|d_Y(y,b)<\varepsilon\}$
とおくと、写像 $f:X\to Y$ が $a\in X$ で連続であるとは
$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(f(U_X(a;\delta))\subset U_Y(f(a);\varepsilon))$
のことでした。これを書き直すと
$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(U_X(a;\delta)\subset f^{-1}(U_Y(f(a);\varepsilon)))$
となり、基本近傍系を用いて
$(\forall V\in\mathbf{V}^*(f(a)))(f^{-1}(V)\in\mathbf{V}(a))$
と一般の位相空間に一般化できます。さらに基本近傍系の性質から
$(\forall V\in\mathbf{V}(f(a)))(f^{-1}(V)\in\mathbf{V}(a))$
と一般化しても同じことであることが分かり、これが一般の位相空間の間の写像 $f:X\to Y$ における、f が $a\in X$ で連続であることの定義になります。
もし f が全ての $x\in X$ で連続ならば、Y の開集合の逆像は X の開集合になることが分かります。したがって、これが一般の位相空間論における写像の連続の定義として採用されています。