待ち行列理論(その 3) - Red cat の数学よもやま話

$M/M/1$ 型待ち行列(続き)

微分方程式系
${p_0}'(t)=-\lambda p_0(t)+\mu p_1(t)$
${p_n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-(\lambda+\mu)p_n(t)+\mu p_{n+1}(t) (n\geq 1)$
が $\rho=\frac{\lambda}{\mu} \lt 1$ のとき、 $t\to\infty$ で平衡状態になると考え、 $p_n(t)\to p_n$ とします。 ${p_n}'(t)\to 0$ と考えられます*1から、平衡状態において
$0=-\lambda p_0+\mu p_1$
$0=\lambda p_{n-1}-(\lambda+\mu)p_n+\mu p_{n+1} (n\geq 1)$
が成り立ちます。第 2 式を変形すると
$-\lambda p_{n-1}+\mu p_n=-\lambda p_n+\mu p_{n+1} (n\geq 1)$
となるので、第 1 式と合わせて
$-\lambda p_n+\mu p_{n+1}=0 (n\geq 0)$ ,
すなわち
$p_{n+1}=(\frac{\lambda}{\mu})p_n=\rho p_n (n\geq 0)$
が成り立ちます。このことから
$p_n=\rho^n p_0$
となりますが、 $\sum_{n=0}^\infty p_n=1$ から
$1=p_0 \sum_{n=0}^\infty \rho^n=\frac{p_0}{1-\rho}$
なので $p_0=1-\rho$ 、よって平衡状態において
$p_n=\rho^n(1-\rho)$
であることが分かります。これは幾何分布の形をしています。(続く)

*1:10/10/21 追記 : これはどうやらあまり自明なことではないようです。